a/CMR \(A=7^{4n}-1⋮5\)với mọi \(n\in N\)
b/CMR \(B=n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\)với mọi \(n\in N\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
1
TH
4 tháng 9 2018
Ta có:
\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)
\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)
\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+3n+2n+6\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Vì tích 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 24
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) chia hết cho 24
5 tháng 8 2017
a, Ta có : \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)\)
\(=\left(n+2\right).\left(4n^2+4n\right)\)
\(=4n.\left(n+2\right).\left(n+1\right)\)
\(=4n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮4\)
\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\) là tích của ba số liên tiếp
\(\Rightarrow n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮2\) và \(3\)
mà \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮\left(2.3\right)\)
Vậy \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)⋮24\left(đpcm\right)\)
b,
+ Thực hiện phép tính :
6n^2 + n - 1 - 6n^2 + 4n 3n + 2 2n - 1 -3n - 1 - -3n - 2 1
Ta có : \(\dfrac{6n^2+n-1}{3n+2}=2n-1+\dfrac{1}{3n+2}\)
Để \(\left(6n+n-1\right)⋮\left(3n+2\right)\) thì \(\dfrac{1}{3n+2}\in Z\)
\(\Rightarrow3n+2\inƯ\left(1\right)\)
\(\Rightarrow3n+2\in\left\{\pm1\right\}\)
Ta có bảng sau :
| 3n+2 | 1 | -1 |
| n | \(-\dfrac{1}{3}\) | -1 |
Vậy n = -1
26 tháng 11 2018
a) Gọi ƯCLN(4n+1;6n+1) = d
=>\(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}3\left(4n+1\right)⋮d\\2\left(6n+1\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+2⋮d\end{cases}}\)
<=> 12n + 3 - 12n -2 \(⋮\)d
<=> 3 - 2 \(⋮\)d (trừ 12n)
<=> d = 1
Vậy ƯCLN(4n+1;6n+1) = 1 hay với mọi số tự nhiên n thì 4n+1 và 6n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Gọi ƯCLN(5n+4;6n+5) = d
=>\(\hept{\begin{cases}5n+4⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}6\left(5n+4\right)⋮d\\5\left(6n+5\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}30n+24⋮d\\30n+25⋮d\end{cases}}\)
<=>30n + 25 - 30n + 24 \(⋮\)d
<=>25 - 24 \(⋮\)d (bỏ đi 30n)
<=> d = 1
Vậy ƯCLN(5n+4;6n+5) = 1 hay 5n + 4 và 6n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
HL
8 tháng 10 2017
B1: Giải:
\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)
= \(n^4+n^3+5n^3+5n^2+6n^2+6n\)
= \(n^3\left(n+1\right)+5n^2\left(n+1\right)+6n\left(n+1\right)\)
= \(\left(n+1\right)\left(n^3+5n^2+6n\right)\)
= \(\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+3n^2+6n\right)\)
= \(\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)\right]\)
= \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n\right)\)
= \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Vì n là số tự nhiên nên n , n+1 , n+2 , n+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp.
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp, một số sẽ chia hết cho 4, số còn lại tất nhiên chia hết cho 2, do đó tích 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 8. (1)
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 3, do đó tích của 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tích của 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 và 8.
Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 ( = 8.3 )
Vậy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮24\)
Hay \(n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\left(n\in N\right)\)