Question

[BTS - Bang Tan Boys]

Cho số

M = \(1^1+2^2+3^3+...+99^{99}+100^{100}\)

Chứng minh rằng số M có 201 chữ số và tính tổng hai chữ số đầu tiên của số M.

Answer 1

[Mysterious Person]

ta cần chứng minh điều này :

\(CMR:1^1+2^2+3^3+4^4+...+n^n< \left(n+1\right)^{n+1}\) (1)

+) với \(n=1\) thì (1) đúng

+) giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là : \(1^1+2^2+...+k^k< \left(k+1\right)^{k+1}\)

ta cũng có thể chứng minh được (1) đúng với \(n=k+1\)

tức : \(1^1+2^2+...+k^k+\left(k+1\right)^{k+1}< \left(k+2\right)^{k+2}\)

thật vậy : ta có \(VT< 2\left(k+1\right)^{k+1}< \left(k+2\right)\left(k+2\right)^{k+1}=\left(k+2\right)^{k+2}\)

\(\Rightarrow\) (đpcm)

áp dụng cho bài toán ta có :

\(1^1+2^2+...+99^{99}< 100^{100}\)

\(\Leftrightarrow1^1+2^2+...+99^{99}+100^{100}< 2.100^{100}\)

mà ta để dàng thấy \(2.100^{100}\) có 201 chữ số \(\Rightarrow\) (đpcm)

Answer 2

[Mysterious Person]

mk chưa đọc hết đề nên giải còn thiếu ! nên h mk sẽ giải cho hết luôn nhé

áp dụng bđt vừa chứng minh ta có :

vì \(M< 2.100^{100}\Rightarrow\) số hạng đầu là số 1

theo phương pháp cũ ta có thể chứng minh :

\(1^1+2^2+...+n^n< \left(n+1\right)^n\)

từ đó ta có thể thấy được :

\(1^1+2^2+...+99^{99}< 100^{99}\) \(\Rightarrow M< 100^{100}+100^{99}\)

\(\Rightarrow\) số hạng thứ 2 là số 0

\(\Rightarrow\) tổng 2 chữ số đầu tiên của số M là : \(1+0=1\)

vậy ....