Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD, tia AM cắt cạnh BC tại K, nối DK. Trên tai đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = DC
a/ Chứng minh tam giác ABM = tam giác ADM
b/ Chứng minh KB = KD
c/ Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng
Lời giải:
a) Xét tam giác $ABM$ và $ADM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} AB=AD(gt)\\ BM=DM(\text{do M là trung điểm BD})\\ \text{AM chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ADM(c.c.)\)
b)
Từ tam giác bằng nhau ở phần a suy ra \(\widehat{BAM}=\widehat{DAM} \) hay \(\widehat{BAK}=\widehat{DAK}\)
Xét tam giác $BAK$ và $DAK$ có:
\(BA=DA\) (gt)
\(\widehat{BAK}=\widehat{DAK}\) (cmt)
\(AK\) chung.
\(\Rightarrow \triangle BAK=\triangle DAK(c.g.c)\) \(\Rightarrow KB=KD\) (đpcm)
c)
Vì $AB=AD, BE=DC$ nên $AB+BE=AD+DC$ hay $AE=AC$
Xét tam giác $AEK$ và $ACK$ có:
\(AE=AC\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (cmt)
$AK$ chung$
\(\Rightarrow \triangle AEK=\triangle ACK(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AEK}=\widehat{ACK}=\widehat{C}(*)\)
Xét tam giác $AED$ và $ACB$ có:
\(AE=AC\)
\(\widehat{A}\) chung
\(AD=AB\) (gt)
\(\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{ACB}=\widehat{C}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \widehat{AEK}=\widehat{AED}\Rightarrow D,K,E\) thẳng hàng (dpcm)
Hình vẽ: