cho y>x>0 và \(\frac{x^2+y^2}{x.y}=\frac{10}{3}\)Tính giá trị của biểu thức M=\(\frac{x-y}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HM
Cho y > x > 0 và \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\)
Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{x-y}{x+y}\)
1
21 tháng 11 2017
Ta có :\(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\Rightarrow3x^2+3y^2=10xy\)
\(\Rightarrow M^2=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{3x^2-6xy+3y^2}{3x^2+6xy+3y^2}=\frac{10xy-6xy}{10xy+6xy}=\frac{4xy}{16xy}=\frac{1}{4}\)
Vậy M=\(\frac{1}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 10 2019
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\) \(\Rightarrow t^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{y^2}+2\)
\(\Rightarrow A=f\left(t\right)=3\left(t^2-2\right)-8t+10=3t^2-8t+4\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \([2;+\infty)\)
Có \(a=3>0\) ; \(-\frac{b}{2a}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}< 2\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \([2;+\infty)\)
\(\Rightarrow\min\limits_{[2;+\infty)}f\left(t\right)=f\left(2\right)=0\)
T
20 tháng 10 2019
Đặt \(\frac{x}{y}=t\)
Ta có: \(A=3\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)-8\left(t+\frac{1}{t}\right)+10\)
Ta sẽ chứng minh \(A\ge0\)
\(3\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)-8\left(t+\frac{1}{t}\right)\ge-10\)
\(\Leftrightarrow3t^2-8t+5+\frac{3}{t^2}-\frac{8}{t}+5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3t-5\right)\left(t-1\right)+\left(\frac{3}{t}-5\right)\left(\frac{1}{t}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3t-5\right)\left(t-1\right)+\left(\frac{5t-3}{t}\right)\left(\frac{t-1}{t}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(3t-5+\frac{5t-3}{t^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-1\right)^2\left(3t^2-2t+3\right)}{t^2}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi t = 1 hay x = y
Do đó \(A\ge0\) hay Min A = 0 <=> x = y
P/s: Em ko chắc
16 tháng 3 2021
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
KN
17 tháng 3 2021
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
NN
Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x>y và x.y= 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=\(\frac{x^2+y^2}{x-y}\)
1
3 tháng 12 2017
Ta có: \(A=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{4}{x-y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm, ta có:
\(A=\left(x-y\right)+\frac{4}{\left(x-y\right)}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\frac{4}{x-y}}=4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3}+1;\sqrt{3}-1\right);\left(1-\sqrt{3};-1-\sqrt{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2020
\(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow3x^2+3y^2-10xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-y\right)\left(x-3y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{y}{3}\\x=3y\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{x}=3\)
\(M=\frac{x-y}{x+y}=\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}\)
b/ \(A=5-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{19}{4}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=2\)
27 tháng 12 2016
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\left(x^2+y^2\right)=10xy\left(1\right)\\x< y< 0\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy>0\\x-y>0\\x+y< 0\end{cases}}\) \(\Rightarrow P< 0\)(*)
\(\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(x-y\right)^2=4xy\left(2\right)\\3\left(x+y\right)^2=16xy\left(3\right)\end{cases}}\)
\(\frac{\left(1\right)}{\left(2\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{4}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x-y}{x+y}=\frac{1}{2}\\\frac{x-y}{x+y}=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Từ (*)=> P=-1/2
NT
Cho y > x > 0 và \(\frac{x^2+y^2}{xy}\) = \(\frac{10}{3}\) TÍnh gt biểu thức M = \(\frac{x-y}{x+y}\)
1
30 tháng 6 2017
Ta có : \(M=\frac{x-y}{x+y}\)
=> \(M^2=\frac{\left(x-y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{x^2+y^2-2xy}{x^2+y^2+2xy}\)
Lại có : \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\Rightarrow x^2+y^2=\frac{10}{3}xy\)
Do đo : \(M^2=\frac{\frac{10}{3}xy-2xy}{\frac{10}{3}xy+2xy}=\frac{\frac{4}{3}xy}{\frac{16}{3}xy}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow M=-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\)
12 tháng 7 2017
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
12 tháng 7 2017
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
\(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\Rightarrow3x^2+3y^2-10xy=0\)
\(\Rightarrow\left(3x^2-9xy\right)-\left(xy-3y^2\right)=0\Rightarrow3x\left(x-3y\right)-y\left(x-3y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-3y\right)\left(3x-y\right)=0\Rightarrow3x-y=0\left(y>x>0\Rightarrow x-3y< 0\right)\Rightarrow3x=y\)
\(M=\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-3x}{x+3x}=\frac{-2x}{4x}=-\frac{1}{2}\)