K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 8 2020

Lời giải:
Bổ sung điều kiện $a\neq b$

Ta có: $\frac{a^2+b^2}{|a-b|}\geq 4\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 4\sqrt{3}|a-b|$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+2ab-4\sqrt{3}|a-b|\geq 0$

$\Leftrightarrow |a-b|^2+12-4\sqrt{3}|a-b|\geq 0$

$\Leftrightarrow (|a-b|-2\sqrt{3})^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $|a-b|=2\sqrt{3}$ và $ab=6$ hay $(a,b)=(3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3})$ và hoán vị

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 1 2019

Lời giải:

Do $ab=6$ nên \(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(a-b)^2+12\)

Đặt \(|a-b|=t(t>0)\). Khi đó:
\(\frac{a^2+b^2}{|a-b|}=\frac{(a-b)^2+12}{|a-b|}=\frac{t^2+12}{t}=\frac{t^2-4\sqrt{3}t+12}{t}+4\sqrt{3}\)

\(=\frac{(t-2\sqrt{3})^2}{t}+4\sqrt{3}\geq 4\sqrt{3}\) với mọi \(t>0\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} ab=6\\ |a-b|=t=2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

27 tháng 1 2019

Lời giải hoành tránh

loại trên mây có biết sai ở đâu không

nếu là lời giải của hs lớp 6 thì tạm chấp nhận

lời giải của GV chửi cho ngu như con BÒ . nếu không muôn chửi là ngu thì sửa lời giải đi

mà loại mày Akai Harumasao biết sai ở đâu mà sửa

19 tháng 9 2019

Ta có:

 \(\frac{a^2+b^2}{\left|a-b\right|}=\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{\left|a-b\right|}=\frac{\left|a-b\right|^2+12}{\left|a-b\right|}=\left|a-b\right|+\frac{12}{\left|a-b\right|}\ge2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}ab=6\\\left|a-b\right|=\frac{12}{\left|a-b\right|}\end{cases}}\) Em tự tìm a và b nhé!

3 tháng 4 2020

tk chó tuấn

3 tháng 4 2020

fan FA chó cái cục shit nhà bạn :)) 

\(\frac{a^2+b^2}{\left|a-b\right|}=\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{\left|a-b\right|}=\left|a-b\right|+\frac{12}{\left|a-b\right|}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm:

\(VT\ge2\sqrt{\left|a-b\right|\cdot\frac{12}{\left|a-b\right|}}=4\sqrt{3}\)

Dấu "=" tự xét.

DD
26 tháng 5 2022

Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

 

NV
23 tháng 12 2020

\(P=\dfrac{\left(a^2+abc\right)^2}{a^2b^2+2abc^2}+\dfrac{\left(b^2+abc\right)^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{\left(c^2+abc\right)}{a^2c^2+2ab^2c}\)

\(P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(P\ge\dfrac{\left[a^2+b^2+c^2+3abc\right]^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3abc}{ab+bc+ca}\ge2\)

Ta có: \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)

\(\Leftrightarrow3abc\ge4\left(ab+bc+ca\right)-9\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2+3abc}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)-9}{ab+bc+ca}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-9+2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=2\) (đpcm)

5 tháng 6 2021

sai cơ bản rồi bạn ơi : a(a+bc)^2 không bằng dc (a^2+abc)^2

15 tháng 3 2021

I. Đúng do BĐT Cosi \(a+\dfrac{9}{a}\ge2.\sqrt{a.\dfrac{9}{a}}=6\)

II. Sai do \(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+4}}\ge2+\dfrac{1}{a^2+4}>2\)

III. Đúng do BĐT Cosi \(\dfrac{\sqrt{ab}}{ab+1}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2}\)

IV. Đúng do BĐT BSC \(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2=4\)

3 tháng 12 2017

a)ta có \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow1\ge ab\)

theo bđt cauchy schwarz ta có

\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a.b}{a.b}}.2\sqrt{\dfrac{a.b}{a^2.b^2}}=2.1.2\dfrac{1}{1^2}=4\)

\(\Rightarrow dpcm\)

25 tháng 6 2017

ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng

26 tháng 6 2017

Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.