Chứng minh \(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 11 2017
Ta có: \(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)
= \(n^4-7n^3-7n^3+12n^2+49n^2+10n^2-84n-70n+120\)
= \(\left(n^4-7n^3+12n^2\right)-\left(7n^3-49n^2+84n\right)+\left(10n^2-70n+120\right)\)
= \(n^2\left(n^2-7n+12\right)-7n\left(n^2-7n+12\right)+10\left(n^2-7n+120\right)\)
=\(\left(n^2-7n+10\right)\left(n^2-7n+12\right)\)
=\(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)
Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 nên \(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)chia hết cho 3.
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn có 2 số chẵn nên \(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)chia hết cho 8.
Do \(\left(3,8\right)=1\)nên \(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)chia hết cho 24.
S
1
22 tháng 1 2019
B= (n^4 - 14n^3 + 49n^2) + 22n^2 -154n +120
= n^2(n^2 -14n +49) + 22n(n-7) +120
= (n(n-7))^2 +10n(n-7) + 12n(n-7) + 10*12
= n(n-7)[n(n-7) + 10] + 12[n(n-7) +10]
= [n(n-7) +10] * [n(n-7) + 12]
= (n^2 - 7n + 10)(n^2 - 7n +12)
= (n-2)(n-5)(n-3)(n-4)
= (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
B là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
=> B chia hết cho 2, 3, 4 mà 2, 3, 4 nguyên tố cùng nhau
Suy ra: B chia hết 2x3x4
Hay B chia hết cho 24.
Bn chịu khó đọc nha!
HB
2
P
15 tháng 5 2018
Ta có:
P = \(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)
\(=n^4-3n^3-11n^3+33n^2+38n^2-114n-40n+120\)
\(=n^3\left(n-3\right)-11n^2\left(n-3\right)+38n\left(n-3\right)-40\left(n-3\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n^3-11n^2+38n-40\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n^3-4n^2-7n^2+28n+10n-40\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n^2-7n+10\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n^2-2n-5n+10\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\)
Ta có P bằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp. Mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
\(=>P⋮24\left(đpcm\right).\)
22 tháng 1 2019
Cách khác:
B= (n^4 - 14n^3 + 49n^2) + 22n^2 -154n +120
= n^2(n^2 -14n +49) + 22n(n-7) +120
= (n(n-7))^2 +10n(n-7) + 12n(n-7) + 10*12
= n(n-7)[n(n-7) + 10] + 12[n(n-7) +10]
= [n(n-7) +10] * [n(n-7) + 12]
= (n^2 - 7n + 10)(n^2 - 7n +12)
= (n-2)(n-5)(n-3)(n-4)
= (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
B là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
=> B chia hết cho 2, 3, 4 mà 2, 3, 4 nguyên tố cùng nhau
=> B chia hết cho 2x3x4
Hay B chia hết cho 24.
=>(đpcm).
CB
2
G
28 tháng 2 2019
\(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)
\(=n^2\left(n^2-9n+20\right)-5n\left(n^2-9n+20\right)+6\left(n^2-9n+20\right)\)
\(=\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2-9n+20\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\)
Dễ nhận thấy tích trên là tích của 4 số nguyên liên tiếp (vì n thuộc N)
Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)⋮3\)(1)
Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. (n-2)(n-3)(n-4)(n-5) là tích của 1 số chia 2,1 số chia hết cho 4 và 2 số khác thì chia hết cho 8 (2)
Từ (1);(2) kết hợp (3;8)=1 suy ra đpcm
HT
4
10 tháng 1 2017
= (n^4 - 14n^3 + 49n^2) + 22n^2 -154n +120
= n^2(n^2 -14n +49) + 22n(n^2-7) +120
= (n(n-7))^2 +10n(n-7) + 12n(n-7) + 10*12
= n(n-7)[n(n-7) + 10] + 12[n(n-7) +10]
= [n(n-7) +10] * [n(n-7) + 12]
= (n^2 - 7n + 10)(n^2 - 7n +12)
= (n-2)(n-5)(n-3)(n-4)
= (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
B là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
trong 4 số liên tiếp luôn có có 2 số chẵn, một số chia cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Ngoài ra có ít nhất 1 số chia hết cho 3
Vì vậy B luôn chia hết cho 4.3.2 = 24
4 số liên tiếp luôn có 2 số chẵn, một số chia
3 tháng 2 2017
= (n^4 - 14n^3 + 49n^2) + 22n^2 -154n +120
= n^2(n^2 -14n +49) + 22n(n-7) +120
= (n(n-7))^2 +10n(n-7) + 12n(n-7) + 10*12
= n(n-7)[n(n-7) + 10] + 12[n(n-7) +10]
= [n(n-7) +10] * [n(n-7) + 12]
= (n^2 - 7n + 10)(n^2 - 7n +12)
= (n-2)(n-5)(n-3)(n-4)
= (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
B là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
trong 4 số liên tiếp luôn có có 2 số chẵn, một số chia cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Ngoài ra có ít nhất 1 số chia hết cho 3
Vì vậy B luôn chia hết cho 4*3*2 = 24
4 số liên tiếp luôn có 2 số chẵn, một số chia
LP
5
BT
5 tháng 12 2017
Đặt A= biểu thức. Ta có:
A=n4-14n3+71n2-154n+120=n4-3n3-11n3+33n2+38n2-114n-40n+120=n3(n-3)-11n2(n-3)+38n(n-3)-40(n-3)=(n-3)(n3-11n2+38n-40)
A=(n-3)(n3-4n2-7n2+28n+10n-40)=(n-3)[n2(n-4)-7n(n-4)+10(n-4)]=(n-3)(n-4)(n2-7n+10)
A=(n-3)(n-4)(n2-5n-2n+10)=(n-3)(n-4)[n(n-5)-2(n-5)]
=> A=(n-3)(n-4)(n-5)(n-2)
=> A=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
Ta nhận thấy: (n-2); (n-3); (n-4) và (n-5) là 4 số tự nhiên liên tiếp => Có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (Vì 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3)
Và vì là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn trong đó có 1 số chẵn chia hết cho 4 => Chia hết cho 8
=> A=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) chia hết cho 3.8=24
=> A chia hết cho 24 (đpcm)