Question

[roronoa zoro]

Cho tam giác ABC có góc A < 120* . Dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABD và ACE . Gọi M là giao điểm của BE và CD

a) Tính góc BMC

b) CM : MA + MB = MD

c) CM : góc AMC = góc BMC

Answer 1

[hgf]

a) Gọi I là giao điểm  của AB và CD

Xét tam giác ADC và ABE ta có:

AD = AB ( do tam giác ABD đều )

góc DAC = góc BAE ( = góc BAC + 60 độ )

AC = AE ( do tam giác ACE đều )

=> Tam giác ADC = tam giác ABE ( c.g.c )

=> góc ADC = góc ABE ( 2 góc tương ứng )

Ta có : góc ADC = góc ABE 

            góc BIM = góc AID

=> \(180^o-\left(\widehat{ADC}+\widehat{AID}\right)=180^o-\left(\widehat{ABE}+\widehat{BIM}\right)\)

=> góc DAI = góc BMI = 60 độ

=> góc BMC = 180 độ - 60 độ = 120 độ

b) Trên cạnh MD lấy điểm F sao cho MB = MF

Tam giác BMF có : góc BMF = 60 độ; MB = MF

=> Tam giác BMF đều

=> MB = BF; góc MBF = 60 độ

Ta có : góc DBF = góc ABD - góc ABF = 60 độ - góc ABF

            góc ABM = góc MBF - góc ABF = 60 độ - góc ABF

=> góc DBF = góc ABM

Xét tam giác AMB và tam giác DFB ta có :

MB = FB ( CM trên )

góc ABM = góc DBF ( CM trên )

AB = DB ( tam giác ABD đều )

=> Tam giác AMB = tam giác DFB ( c.g.c )

=> AM = DF ( 2 cạnh tương ứng )

=> AM + BM = DF + MF = MD ( đpcm )

c) Tam giác BMF đều => góc MFB = 60 độ 

=> góc BFD = 180 độ - 60 độ = 120 độ

Tam giác AMB = tam giác DFB => góc AMB = góc BFD = 120 độ

Ta có : góc AMB + góc BMC + góc AMC = 360 độ

=> góc AMC = 360 độ - ( 120 độ + 120 độ ) = 120 độ

=> góc AMC = góc BMC ( đpcm )