Có \(\left|\sqrt{2x-3}+1\right|+\left|4-\sqrt{2x-3}\right|\ge\left|\sqrt{2x-3}+1+4-\sqrt{2x-3}\right|=\left|5\right|=5\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ Đẳng thức ban đầu xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+1\right)\left(4-\sqrt{2x-3}\right)=0\\ \Leftrightarrow4\sqrt{2x-3}-2x+3+4-\sqrt{2x-3}=0\\ \Leftrightarrow3\sqrt{2x-3}=2x-7\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-3}=\dfrac{2x-7}{3}\left(ĐK:x\ge\dfrac{7}{2}\right)\\ \Leftrightarrow2x-3=\dfrac{\left(2x-7\right)^2}{9}\\ \Leftrightarrow\left(2x-7\right)^2=9\left(2x-3\right)\\ \Leftrightarrow4x^2-28x+49-18x+27=0\\ \Leftrightarrow4x^2-40x+76=0\\ \Leftrightarrow x^2-10x+19=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-10x+25\right)-6=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)^2-\left(\sqrt{6}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5-\sqrt{6}\right)\left(x-5+\sqrt{6}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5+\sqrt{6}\left(tmđk\right)\\x=5-\sqrt{6}\left(ktmđk\right)\end{matrix}\right.\)
Tất cảToánVật lýHóa họcSinh họcNgữ vănTiếng anhLịch sửĐịa lýTin họcCông nghệGiáo dục công dânÂm nhạcMỹ thuậtTiếng anh thí điểmLịch sử và Địa lýThể dụcKhoa họcTự nhiên và xã hộiĐạo đứcThủ côngQuốc phòng an ninhTiếng việtKhoa học tự nhiên
\(\sqrt{2x-2+2\sqrt{2x-3}}+\sqrt{2x+13-8\sqrt{2x-3}}=5\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-3+2\sqrt{2x-3}+1}+\sqrt{2x-3-8\sqrt{2x-3}+16}=5\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-3}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-3}-4\right)^2}=5\\ \Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-3}+1\right|+\left|\sqrt{2x-3}-4\right|=5\\ \Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-3}+1\right|+\left|4-\sqrt{2x-3}\right|=5\)
Có \(\left|\sqrt{2x-3}+1\right|+\left|4-\sqrt{2x-3}\right|\ge\left|\sqrt{2x-3}+1+4-\sqrt{2x-3}\right|=\left|5\right|=5\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ Đẳng thức ban đầu xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+1\right)\left(4-\sqrt{2x-3}\right)=0\\ \Leftrightarrow4\sqrt{2x-3}-2x+3+4-\sqrt{2x-3}=0\\ \Leftrightarrow3\sqrt{2x-3}=2x-7\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-3}=\dfrac{2x-7}{3}\left(ĐK:x\ge\dfrac{7}{2}\right)\\ \Leftrightarrow2x-3=\dfrac{\left(2x-7\right)^2}{9}\\ \Leftrightarrow\left(2x-7\right)^2=9\left(2x-3\right)\\ \Leftrightarrow4x^2-28x+49-18x+27=0\\ \Leftrightarrow4x^2-40x+76=0\\ \Leftrightarrow x^2-10x+19=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-10x+25\right)-6=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)^2-\left(\sqrt{6}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5-\sqrt{6}\right)\left(x-5+\sqrt{6}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5+\sqrt{6}\left(tmđk\right)\\x=5-\sqrt{6}\left(ktmđk\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=5+\sqrt{6}\) là nghiệm của pt.