Áp dụng bất đẳng thức cosi chứng minh $\dfrac{1}{a} \dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a b}$ với a,b $\ge$0 $\left(a b\right).\left(\dfrac{1}{a} \dfrac{1}{b}\right)\ge$ 4 với a,b

DN

Đổng Ngạc Lương Tịch

18 tháng 11 2017

Áp dụng bất đẳng thức cosi chứng minh $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$ với a,b $\ge$0 $\left(a+b\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge$ 4 với a,b > 0 $\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge$ 9 với a,b,c > 0 \(a^2+b^2+c^2\ge...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

HT

Hồ Thị Hồng Nghi

7 tháng 12 2021

Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(a,b,c>0\right)$

#Toán lớp 10

1

NH

Nguyễn Hoàng Minh

7 tháng 12 2021

Áp dụng BĐT cosi:

$\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c$

Đúng(1)

TN

Thai Nguyen

25 tháng 7 2018

Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: $\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: $\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9$

#Toán lớp 9

1

DP

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

14 tháng 8 2018

Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :

Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Áp dụng : Theo BĐT $AM-GM$ ta có :

$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Nhân vế theo vế ta được :

$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

L

Linh

19 tháng 3 2018

chứng minh các bất đẳng thức

a/ $\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$

c/ $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2$

b/ $\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4$

#Toán lớp 8

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

19 tháng 3 2018

Lời giải:

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

a) $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}$

$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)

$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$ $\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

b) $\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4$

Áp dụng 2 lần BĐT phần a: $\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)$

Và: $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Đúng(0)

TP

Trường Phạm

10 tháng 1 2019

Chứng minh các bất đẳng thức sau :

1. a³- 3a +4 $\ge$ b³ - 3b ( a$\ge$b)

2. $\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3$ ( với a+b>0 )

3. $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\ge\dfrac{3abc}{a+b+c}$ ( với a+b+c$\ne$0 )

#Toán lớp 10

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

30 tháng 12 2022

3: =>a^3+b^3+c^3>=3abc

=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc>=0

=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac>=0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0(luôn đúng)

Đúng(0)

AS

Agelaberry Swanbery

9 tháng 1 2019

2. Cho a>0; b>0; c>0

Chứng minh bất đẳng thức (a+b+c)$\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$$\ge$ 9

#Toán lớp 9

1

TN

tran nguyen bao quan

9 tháng 1 2019

Áp dụng bđt cosi cho 3 số dương a,b,c>0

$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}$

Suy ra$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}=9\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=9$

Vậy $\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9$

Đúng(0)

L

Lông_Xg

15 tháng 6 2018

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 1. $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}$+ $\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}$+ $\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}$ ≥ 1 2. $\dfrac{a}{b+2c+3d}$+$\dfrac{b}{c+2d+3a}$+$\dfrac{c}{d+2a+3b}$+ $\dfrac{d}{a+2b+3c}$ ≥ $\dfrac{2}{3}$ 3. $\dfrac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}$ + $\dfrac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}$ + $\dfrac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}$ + $\dfrac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}$ ≥...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

AT

Aki Tsuki

15 tháng 6 2018

Bài 1:

Ta có: $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}$

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz có:

$\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8bc}+c\sqrt{c^2+8bc}}$

Lại sử dụng bđt Cauchy schwarz ta có:

$a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\cdot\sqrt{c^3+8abc}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}$

$\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}}$

=> Ta cần chứng minh: $\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc$

hay $\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc$

Áp dụng bđt Cosi ta có:

$a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}$

Nhân các vế của 3 bđt trên ta đc:

$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc$

=> Đpcm

Đúng(0)

TT

Thư Trần

18 tháng 6 2023

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^2.\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^2.\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^2.\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}$

#Toán lớp 10

1

GH

Gia Huy

18 tháng 6 2023

Đặt $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}$ khi đó thu được $xyz=1$

Ta có:

$\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{x^2yz}{y+z}=\dfrac{x}{y+z}$

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{z+x}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right)\ge\dfrac{9}{2}$

Đánh giá cuối cùng đúng theo BĐT Cauchy

Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Đúng(3)

TT

Thư Trần

18 tháng 6 2023

Cảm ơn bạn nhé!

Đúng(0)

VT

Vũ Tiền Châu

1 tháng 10 2017

cho a,b,c>0 chứng minh rằng

$\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}$

#Toán lớp 9

2

N

Neet

1 tháng 10 2017

Fix đề: Cho a,b,c không âm. Chứng minh $\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}$

Dự đoán điểm rơi sẽ có 1 số bằng 0.

Giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$ ( c là số nhỏ nhất trong 3 số) thì $c\ge0$

do đó $ab+bc+ca\ge ab$ và $\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{1}{\left(a-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}$

BDT cần chứng minh tương đương

$ab\left[\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right]\ge4$

$\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge4$

$\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge4$

BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Do đó ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi c=0 , $\left(a-b\right)^2=a^2b^2$ ( và các hoán vị )

Đúng(0)

N

Neet

1 tháng 10 2017

a,b,c không âm

Đúng(0)

BC

Big City Boy

23 tháng 1 2021

Chứng minh các bất đẳng thức sau: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$ (với a, b>0)

#Toán lớp 8

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 1 2021

Biến đổi tương đương:

$\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}$

$\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab$

$\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Đúng(3)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP