K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 4 2017

5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

áp dụng bđ cosy

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> đpcm

6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt

7.áp dụng bđt cosy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)

10 tháng 4 2017

1. (a-b)2>=0

=> a2+b2-2ab>=0

2. (a-b)2>=0

=> a2+b2>=2ab

=> \(\dfrac{a^2 +b^2}{2}\ge ab\)

3.Ta phích ra thôi,ta được : a2+2a < a2+2a+1

=> cauis trên đúng

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 3 2018

Lời giải:

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

b) \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)

Áp dụng 2 lần BĐT phần a: \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)\)

Và: \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

Câu 1:

Ta có: \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) (1)

Ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2-2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

23 tháng 3 2018

5 , a3+b3+c3\(\ge\) 3abc

\(\Leftrightarrow\) a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc\(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2)-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)\(\ge0\) (1)

ta co : a,b,c>0 \(\Rightarrow\)a+b+c>0 (2)

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge0\)

<=> 2a2+2b2+2c2-2ac-2cb-2ab\(\ge0\)

<=>a2+b2+c2-ab-bc-ac\(\ge\) 0 (3)

Từ (1)(2)(3)=> pt luôn đúng

26 tháng 3 2018

b) \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

= \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

=\(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> \(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)(đpcm)

31 tháng 7 2017

3) Biến đổi tương đương:

\(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+6\left(a^3+c^3+b^3\right)\)

\(\ge\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ac\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\right]+\left[a^3+c^3-ac\left(a+c\right)\right]+\left[b^3+c^3-bc\left(b+c\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2\ge0\) luôn đúng do a, b, c > 0

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

31 tháng 7 2017

4) Ta có: a+b>c ; b+c>a; a+c>b

Xét \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)

Vậy suy ra được điều phải chứng minh

6 tháng 4 2017

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

6 tháng 4 2017

có cách giải tự luận khác ko bn?

23 tháng 4 2017

c) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{A+B+C}=\dfrac{9}{A+B+C}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{C}\)

14 tháng 9 2017

Khó quá. Đúng là Câu Hỏi Hay!!

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên có:

\(A\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\dfrac{1}{abc}}=9\)

Khi \(a=b=c\)

Bài 2:

a)Sửa đề \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)

Khi \(x=y\)

b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{4}{2b}=\dfrac{2}{b}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c};\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\ge\dfrac{2}{a}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2VT\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Khi \(a=b=c\)

14 tháng 9 2017

Câu 1: Với \(a;b;c>0\), theo bất đẳng thức Cauchy:

\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

Nhân theo vế ta được \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow MinA=9\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c