cho x,y,z>0 và x+y+z\(\ge\)1, chứng minh \(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{z^2}+\dfrac{z^3}{x^2}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2018
1/ Đây là cách chứng minh dựa vào kiến thức lớp 9, không sử dụng các định lý hàm sin hoặc hàm cos của cấp 3:
Bạn tự vẽ hình.
Kẻ tam giác ABC với đường cao AH, ta đặt
\(BC=a;AC=b;AB=c;AH=h_a;BH=x\Rightarrow CH=a-x\)
Trong tam giác vuông ABH: \(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow c^2=x^2+h^2_a\) (1)
Trong tam giác vuông ACH: \(AC^2=CH^2+AH^2\Rightarrow b^2=\left(a-x\right)^2+h^2_a\) (2)
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:
\(c^2-b^2=x^2-\left(a-x\right)^2=2ax-a^2\Rightarrow x=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\)
Thay x vào (1) ta được:
\(h^2_a=c^2-x^2=c^2-\left(\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2=\left(c-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\left(c+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\)
\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)\right)\left(a^2+2ac+c^2-b^2\right)}{4a^2}\)
\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a-c\right)^2\right)\left(\left(a+c\right)^2-b^2\right)}{4a^2}\)
\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)}{4a^2}\) (3)
Gọi \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác
\(\Rightarrow a+b+c=2p\) ; \(a+b-c=2\left(p-c\right)\) ; \(b+c-a=2\left(p-a\right)\) ; \(a-b+c=2\left(p-b\right)\)
Thay vào (3) ta được:
\(h_a^2=\dfrac{2\left(p-a\right)2\left(p-c\right)2p.2\left(p-b\right)}{4a^2}=\dfrac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{a^2}\)
\(\Rightarrow h_a=\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}\)
Mà ta đã biết công thức tính diện tích tam giác:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}h_a.a\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}.a=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
13 tháng 11 2018
Bài 2:
Áp dụng đẳng thức : \(a^2+b^2\ge2ab\) (xảy ra đẳng thức khi a = b),ta có :
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}=\dfrac{2x}{z}\)
Tương tự : \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{z}\), \(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được :
\(2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\left(\text{đpcm}\right)\)
5 tháng 2 2022
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
DK
29 tháng 5 2021
Áp dụng AM-GM có
\(\dfrac{x^3}{y^2}+y+y\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^2}.y.y}=3x\)
Tương tự . \(\dfrac{y^3}{z^2}+z+z\ge3y\); \(\dfrac{z^3}{x^2}+x+x\ge3z\)
cộng lại ta được
\(VT+2\left(x+y+z\right)\ge3\left(x+y+z\right)\rightarrow VT\ge x+y+z=VP\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\)
1 tháng 8 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) có:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu " = " khi x = y = z = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy...
1 tháng 8 2017
Cách khác nhé!/-/
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\right)\left(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^3\)
Do đó \(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 12 2021
\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2xz}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{xz+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
BN
8 tháng 8 2017
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
T
8 tháng 8 2017
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
N
30 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)
Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)
Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)
\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)
Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)