Cho a,b>0
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 2 2019
Bài này bị ngược dấu hả ???
Đây nhé , ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) thật vậy
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta được
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{b}\)
Cộng 2 bđt lại ta được \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Dấu ''=" xảy ra khi a = b
Bài toán quay trở lại với việc c/m \(\frac{16}{a+b}\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)với a,b > 0
Ta có bđt sau \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(Quen thuộc)
Áp dụng ta được \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}=\frac{2^2}{a}+\frac{2^2}{b}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}=\frac{16}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\ge\frac{16}{a+b}???\) Trái với điều cần c/m
=> Đề sai
17 tháng 2 2019
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab}+\frac{16ab}{a+b}\ge5.\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-1\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-2\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge8\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}.\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}}=2.\sqrt{16}=2.4=8\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}=\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4=\left(4ab\right)^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
25 tháng 4 2020
vì a,b dương nên BĐT đã cho tương đương với :
\(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b^2}+\frac{b-a}{a^2}+4.\frac{4ab-\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{a^2b^2}-\frac{4\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi a = b
8 tháng 9 2016
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)
\(\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{abc}}=1\)
Từ đó => VT \(\ge\)5
NQ
0
10 tháng 2 2019
\(P=\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}.\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2b^2}}{\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{\frac{a^4-2a^3b+a^2b^2+a^2b^2-2ab^3+b^4+a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^3b^3}}{\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^3b^3}:\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}=\frac{1}{ab}\)
11 tháng 8 2016
Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=x^2-2\)
Xét mẫu thức : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)
Thay \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) được mẫu thức : \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Ta có : \(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}}{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}.\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{ab}\) (đpcm)
b) Áp dụng bđt Cauchy :
\(1=4a+b+\sqrt{ab}\ge2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow5\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{ab}\ge25\) . Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}4a+b+\sqrt{ab}=1\\4a=b\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{1}{10}\\b=\frac{2}{5}\end{cases}\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 25 tại \(\left(a;b\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{2}{5}\right)\)
11 tháng 8 2016
pn ơi , bđt cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
s lại là \(2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
Lời giải:
Dùng pp biến đổi tương đương.
Ta có: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\geq 5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}\right)+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a-b}{b^2}-\frac{a-b}{a^2}+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{a+b}{ab}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}-\frac{4(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2\left(\frac{a+b}{a^2b^2}-\frac{4}{ab(a+b)}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{a^2b^2}-\frac{4}{ab(a+b)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
cảm ơn bạn