1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2 b^2}{a b} \dfrac{b^2 c^2}{b c} \dfrac{c^2 a^2}{c a}\le3.\dfrac{a^2 b^2 c^2}{a b c}$ 2. Cho $f\left(x\right)=ax^2 bx c$ biết rằng: \(\left\{{}\begin{matrix}\left...

T

TFBoys

3 tháng 9 2017

1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ 2. Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ biết rằng: $\left\{{}\begin{matrix}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{matrix}\right.$ CmR: a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3$ b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

KN

Khánh Nguyễn

30 tháng 11 2017

sky oi say oh yeah

Đúng(0)

TA

Thiên An

3 tháng 9 2017 - olm

1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$2. Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ biết rằng: $\hept{\begin{cases}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{cases}}$CmR: a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3$ b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

TN

Thắng Nguyễn

3 tháng 9 2017

1.

Nhân 2 vế của BĐT với $\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)$

$\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0$ *đúng*

Đúng(0)

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Cho $\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}$

CMR : $\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}$

b) $\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}$

#Toán lớp 7

1

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

Đúng(0)

LV

Lê Văn Hoàng

3 tháng 10 2017

CMR: $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2009}{ab+bc+ca}\ge670$ với $\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\le3\\a,b,c>0\end{matrix}\right.$

#Toán lớp 9

1

HN

Hà Nam Phan Đình

4 tháng 11 2017

Áp dụng BĐT B.C.S ta có

$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}$

mặt khác do $a+b+c\le3\Rightarrow\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge1$

$\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge1$(*)

ta lại có $ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le3$

$\Rightarrow\dfrac{2007}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{2007}{3}=669$(**)

lấy (*)+(**) vế theo vế ta được

$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2009}{ab+bc+ac}\ge669+1=670\left(dpcm\right)$

Đúng(0)

MH

Minh Hiếu

5 tháng 5 2022

1. Cho a,b,c t/m: $\left\{{}\begin{matrix}a\ge\dfrac{4}{3}\\b\ge\dfrac{4}{3}\\c\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.$ và $a+b+c=6$

$CMR:\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{6}{5}$

2. Cho x,y >0 t/m: $2x+3y-13\ge0$

Tìm min $P=x^2+3x+\dfrac{4}{x}+y^2+\dfrac{9}{y}$

#Toán lớp 10

1

NH

Nguyễn Hoàng Minh

6 tháng 5 2022

Xét $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0$

$\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}$

CMTT $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế:

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=2$

Đúng(7)

MH

Minh Hiếu

6 tháng 5 2022

Mà câu này làm được rồi, giúp được câu kia không

Đúng(1)

PL

Phạm Lợi

3 tháng 1 2019

1)cho a,b,c >0. $cmr:\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}$ 2) cho a,b,c>0 và a+b+c=1. $cmr:\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64$ 3) cho a,b,c>0. $cme:\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ 4) cho a,b,c>0 .$cmr:\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$ 5)cho a,b,c>0. cmr:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

7

DB

đề bài khó wá

3 tháng 1 2019

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}$

$\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}$

$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}$

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

$2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)$

Đúng(0)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

4 tháng 1 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c$

Do đó:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(1)

AK

Anh Khương Vũ Phương

9 tháng 5 2018

Cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.$

CMR: $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{b^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

#Toán lớp 9

0

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

tìm $MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

#Toán lớp 10

2

TM

Trần Minh Hoàng

14 tháng 2 2021

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

$S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$.

Đúng(2)

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

undefined

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

Đúng(0)

LT

lê thị tiều thư

10 tháng 3 2017

1)cho a,b,c>0 CMR $\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ 2)tìm x,y nguyên dương thỏa $\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)=4xy+9$ 3) ghpt a) $\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+3=4x\\x^3+12x+y^3=6x^2+9\end{matrix}\right.$ b)...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

6

N

Neet

10 tháng 3 2017

Xí câu BĐT:

ta cần chứng minh $\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca$

Áp dụng BĐT cauchy:

$\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2$

tương tự ta có:$\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2$

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)$

mà a²+b²+c²$\ge ab+bc+ca$ ( chứng minh đầy đủ nhá)

do đó $S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca$

suy ra BĐT ban đầu đúng

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}$

$S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

Đúng(0)

HY

Hương Yangg

11 tháng 3 2017

Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
$x^4-y^4=4y-4x$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0$
$\Leftrightarrow x-y=0$ ( Vì $\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0$ với x,y > 0)
$\Leftrightarrow x=y$
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
$x^4-4x+3=0$
$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0$
$\Leftrightarrow x-1=0$ ( Vì $x^2+2x+3>0$ )
$\Leftrightarrow x=1$
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

Đúng(0)

VD

Vô danh

5 tháng 4 2022

$1,Cho.a,b,c\ge1.CMR:\left(a-\dfrac{1}{b}\right)\left(b-\dfrac{1}{c}\right)\left(c-\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(a-\dfrac{1}{a}\right)\left(b-\dfrac{1}{b}\right)\left(c-\dfrac{1}{c}\right)$

2, Cho a,b,c>0.CMR:

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

#Toán lớp 8

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2022

1.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$

Ta có:

$\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab$

$=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$

Tương tự: $\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$

$\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)$

Do $a;b;c\ge1$ nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:

$\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2$

$\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa

Đúng(5)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2022

2.

Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max\left\{a;b;c\right\}$

$\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0$ (1)

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0$

$\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0$

Đúng theo (1)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(3)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP