Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng t/c dtsbn ta có:
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\dfrac{a+b-c}{c}=1\Rightarrow a+b-c=c\Rightarrow a+b=2c\\ \dfrac{b+c-a}{a}=1\Rightarrow b+c-a=a\Rightarrow b+c=2a\\ \dfrac{c+a-b}{b}=1\Rightarrow c+a-b=b\Rightarrow c+a=2b\)
\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\\ =\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{abc}\\ =\dfrac{2c.2b.2a}{abc}\\ =\dfrac{8abc}{abc}\\ =8\)
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài làm :
Ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi : a=b
Chứng minh tương tự như trên ; ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}\text{≤}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{c+a}\text{≤}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ; ta được :
\(A\text{≤}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\text{=}\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi ;
\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy Max (A) = 3/2 khi a=b=c=1
Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?
Câu 1:
Ta có: Áp dụng BĐT phụ \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge4,5\) (*)
và BĐT Cau -chy ta có:
\(P+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)
\(+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
<=> \(P+3\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
\(+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}\)
<=> \(P+3\ge4,5+6=10,5\) ( Theo (*)) => \(P\ge7,5\)
=> Dấu = xảy ra <=> a = b = c
từ $x\le 3$ suy ra $x=3$ là điểm rơi
suy ra $y=8$ suy ra $P_{max}= 3*8=24$