Question

[응웬 티 하이]

Cho 2a²+b²+c²+d²+e²=a(b+c+d+e)

CMR: a=b=c=d=e=0

Answer 1

[Nguyễn Thị Huyền Trang]

Ta có: \(2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Rightarrow8a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2=4ab+4ac+4ad+4ae\)

\(\Rightarrow8a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae=0\)

\(\Rightarrow4a^2+\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)\)

\(+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)=0\)

\(\Rightarrow4a^2+\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2=0\) (1)

Vì \(4a^2\ge0;\left(a-2b\right)^2\ge0;\left(a-2c\right)^2\ge0;\left(a-2d\right)^2\ge0;\left(a-2e\right)^2\ge0\)

với mọi a,b,c,d,e

=> (1) xảy ra \(\Leftrightarrow4a^2=0;\left(a-2b\right)^2=0;\left(a-2c\right)^2=0;\left(a-2d\right)^2=0;\left(a-2e\right)^2=0\)(2)

\(\Rightarrow a=0\) \(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(0-2b\right)^2=0\\\left(0-2c\right)^2=0\\\left(0-2d\right)^2=0\\\left(0-2e\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0-2b=0\\0-2c=0\\0-2d=0\\0-2e=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=0\\2c=0\\2d=0\\2e=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\c=0\\d=0\\e=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=e=0\)

Vậy a=b=c=d=e=0

Answer 2

[Home Sherlock]

\(2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae=0\)

Nhân 2 với hai vế của đẳng thức, ta có:

\(4a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2-2ab-2ac-2ad-2ae=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(a^2-2ae+e^2\right)+\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(a-e\right)^2+\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)=0\)

Ta gọi biểu thức trên là *

Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\) ;

\(\left(a-c\right)^2\ge0\);

\(\left(a-d\right)^2\ge0\);

\(\left(a-e\right)^2\ge0\);

\(\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge0\);

Do các phép tính trên đều là phép cộng, phép trừ

Mà kết quả lại bằng 0

Nên * xảy ra khi a-b=0; a-c=0; a-d=0; a-e=0

và b+c+d+e=0

Mà các số giống nhau hiệu = 0 =>a=b=c=d=e(**)

và các số dương cộng lại bằng 0 =>b,c,d.e=0(***)

Từ (**) và ( ***)=> a=b=c=d=0(dpcm)