Cho a.b.c=1 và a+b+c>1/a+1/b+1/c
Chứng minh rằng (a-1).(b-1).(c-1)>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
0
NT
0
3 tháng 5 2017
Đặt \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\) là ( 1)
Ta có : \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=a+b+c-ab-bc-ca>0\)
\(=a+b+c-\dfrac{c}{ab}-\dfrac{a}{bc}-\dfrac{b}{ac}>0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( 2 )
BĐT ( 2 ) đúng . Từ đây ta có thể thấy BĐt ( 1 ) cũng đúng :D
SD
1
NT
25 tháng 10 2016
\(\frac{a}{a'}+\frac{b}{b'}=1;\frac{b}{b'}+\frac{c}{c'}=1\)
=> a/a'=c/c'
S
10 tháng 8 2018
Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi
Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c
=>(a+b)2=(-c)2
=>a2+2ab+b2=c2
=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự ta có: b2+c2-a2=-2bc ; c2+a2-b2=-2ca
=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)
D
31 tháng 8 2018
Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
14 tháng 3 2017
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)(vì abc=1)
tự phân tích sẽ ra là \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
suy ra một trong 3 số =1
19 tháng 8 2017
Ta có:
1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)≥2
→1/(1+a)≥{1-1/(1+b)}+{1-1/(1+c)}
↔1/(1+a)≥b/(1+b)+c/(1+c)
≥2.√(bc)/{(1+b)(1+c)}(theo cosi)
Hai bất đẳng thức tương tự rồi nhân vế với vế
1/{(1+a)(1+b)(1+c)≥8.abc/{(1+a)(1+b)(1...
↔abc≤1/8(dpcm)
TK NHA
19 tháng 8 2017
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)\)\(=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Tương tự ta có:
ND
0