Cmr với mọi số nguyên x,y số \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 8 2023
Ta có \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương. \(\Rightarrowđpcm\)
NN
27 tháng 3 2017
Ta có:
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\) thì:
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(=t^2-y^4+y^4=t^2\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên:
\(x^2\in Z,5xy\in Z,5y^2\in Z\)
\(\Leftrightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
Vậy \(A\) là số chính phương (Đpcm)
BA
20 tháng 11 2019
ồ bài này khá dễ
Ta có
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)
\(\)\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4\)
\(=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên \(\hept{\begin{cases}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{cases}\Rightarrow x^2+5xy+y^2\in Z}\)
Vậy A là số chính phương
20 tháng 11 2019
\(A=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4.\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4.\)
\(=\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)-y^2\right]\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)+y^2\right]+y^4.\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Đến đây ta có điều phải chứng minh rồi :>
14 tháng 3 2018
Có :
A = [(x+y).(x+4y)] . [(x+2y).(x+3y)] + y^4
= (x^2+5xy+4y^2) . (x^2+5xy+6y^2) + y^4
= (x^2+5xy+5y^2)^2 - y^4 + y^4
= (x^2+5xy+5y^2)^2 là số chính phương
Tk mk nha
AL
22 tháng 1 2017
ta có (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4
=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+y^4
=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4
đặt x^2+5xy=a
<=>A=a(a+2y^2)+y^4
=a^2+2.a.y^2+y^4
=(a+y^2)^2
là scp
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
6 tháng 11 2017
Ta đặt A = \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=t\Rightarrow A=t\left(t+2y^2\right)+y^4\)
\(=t^2+2ty^2+y^4=\left(t+y^2\right)^2\)
Do x, y nguyên nên t nguyên, vậy thì t + y2 cũng nguyên. Suy ra A là số chính phương.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 4 2018
Lời giải:
\(A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4\)
\(A=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y^4\)
\(A=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\). Khi đó:
\(A=a(a+2y^2)+y^4=a^2+2ay^2+(y^2)^2\)
hay \(A=(a+y^2)^2\) là một số chính phương.
Ta có đpcm.
HQ
9 tháng 4 2018
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(\Rightarrow A=t^2-y^4+y^4\)
\(\Rightarrow A=t^2\)
\(\Rightarrow A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x;y;z\in Z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương
Nên a là số chính phương ( đpcm )
2 tháng 1 2019
Ta có: \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)
\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\)
\(\Rightarrow A=a\left(a+2y^2\right)+y^4\)
\(A=a^2+2ay^2+y^4\)
\(A=\left(a+y^2\right)^2\)
Thay \(x^2+5xy+4y^2=a\), ta có
\(A=\left(x^2+5xy+4y^2+y^2\right)^2\)
\(A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vậy với mọi x, y nguyên thì A là số chính phương.
18 tháng 9 2018
b)P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4
=>P= [(x + y)(x + 4y)][(x + 2y)(x + 3y)] + y^4
=> P = (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y^4
Đặt x² + 5xy + 5y² = t ( t Є Z)
=> A = (t - y²)( t + y²) + y^4
=> A = t² –y^4 + y^4
=> A = t²
=> A = (x² + 5xy + 5y²)²
Vì x, y, z Є Z
=> { x² Є Z,
{ 5xy Є Z,
{ 5y² Є Z
=> x² + 5xy + 5y² Є Z
=> (x² + 5xy + 5y²)² là số chính phương.
Vậy A là số chính phương.
PT
18 tháng 9 2018
a) Ta có:
\(A=n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)
\(A=n.n^2\left(n^2-7\right)^2-6^2n\)
\(A=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-6^2\right]\)
\(A=n\left\{\left[n\left(n^2-7\right)\right]^2-6^2\right\}\)
\(A=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-6^2\right]\)
\(A=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left(n^2+n-6\right)\left(n+2\right)\left(n^2-2n-3\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n-3\right)\)
\(A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Vì \(\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp
=> A chia hết cho 3, 5 , 7
Mà 3,5,7 là những số nguyên tố cùng nhau
=> A chia hết cho 3.5.7
=> A chia hết cho 105
b) Ta có:
\(P=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(P=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\)
\(P=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
\(P=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)
\(P=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)
\(P=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vậy P là số chính phương
Ta có \(A=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4=\left(x^2+5yx+4y^2\right)\left(x^2+5yx+6y^2\right)+y^4\)
\(=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2\) là số chính phương. Ở đây \(t=x^2+5yx+5y^2.\)
à em hiểu rồi lây\(\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]\) vì y+4y=2y+3ysau đó dùng đặt với \(t=x^2-5xy+\frac{4y^2+6y^2}{2}\)