cho 3 số x,y,z thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
cmr \(\dfrac{1}{x^{2009}}+\dfrac{1}{y^{2009}}+\dfrac{1}{z^{2009}}=\dfrac{1}{x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}}\)
giúp mình nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PA
26 tháng 2 2018
\(\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\dfrac{3}{4}\)\(\left(\left\{{}\begin{matrix}x>2009\\y>2010\\z>2011\end{matrix}\right.\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2009-4\sqrt{x-2009}+4}{x-2009}+\dfrac{y-2010-4\sqrt{y-2010}+4}{y-2010}+\dfrac{z-2011-4\sqrt{z-2011}+4}{z-2011}=0\)
Nhận xét: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{x-2009}\ge0\\\dfrac{\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{y-2010}\ge0\\\dfrac{\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{z-2011}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2009}-2=0\\\sqrt{y-2010}-2=0\\\sqrt{z-2011}-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2013\\y=2014\\z=2015\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(2013;2014;2015\right)\)
1 tháng 3 2018
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\sqrt{x-2009}-4}{x-2009}-1+\dfrac{4\sqrt{x-2009}-4}{x-2009}-1+\dfrac{4\sqrt{x-2009}-4}{x-2009}-1=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{x-2009}-\dfrac{\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{y-2010}-\dfrac{\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{z-2011}=0\)
VT <=0 đẳng thức khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2009=4=>x=2013\\y=2014\\z=2015\end{matrix}\right.\)
1 tháng 5 2018
Đặt a = \(\sqrt{x-2009}\)
b = \(\sqrt{y-2010}\)
c = \(\sqrt{z-2011}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-1}{a^2}+\dfrac{b-1}{b^2}+\dfrac{c-1}{c^2}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow-(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2})^2-\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
Dấu = xảy ra khi
a = 2
b = 2
c = 2
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2009}=2\)
\(\sqrt{y-2010}=2\)
\(\sqrt{z-2011}=2\)
\(\Leftrightarrow x-2009=4\)
\(y-2010=4\)
\(z-2011=4\)
=> x = 2013
y = 2014
z = 2015
31 tháng 1 2019
Lời giải:
Ta có $$\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt{x-2009}}-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{y-2010}}-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{z-2011}}-\frac{1}{2} \right )^2=0$$
$$\Rightarrow x=2013,y=2014,z=2015$$ 
13 tháng 3 2021
\(\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{41}+\dfrac{z}{49}=\dfrac{1000}{2009}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{287x+49y+41z}{2009}=\dfrac{1000}{2009}\)
\(\Leftrightarrow287x+49y+41z=1000\)
\(\Leftrightarrow41z=1000-287x-49y\le1000-287-49=664\) do \(x,y\) nguyên dương. (1)
Mặt khác ta cũng có \(1000\equiv6\left(mod7\right);287\equiv0\left(mod7\right);49\equiv0\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow1000-287x-49y\equiv6\left(mod7\right)\)
Mà \(41\equiv6\left(mod7\right)\Rightarrow z\equiv1\left(mod7\right)\) (2)
Từ (1) suy ra \(1\le z\le\dfrac{664}{41}\le16\) (3)
Từ (2),(3) suy ra \(z\in\left\{8;15\right\}\)
+) \(z=8\Leftrightarrow287x+49y=672\)
\(\Leftrightarrow41x+7y=96\)
Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)
+) \(z=15\Leftrightarrow287x+49y=385\)
\(\Leftrightarrow41x+7y=55\)
Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
Vậy tập nghiệm nguyên dương của phương trình là \(\left(x;y;z\right)\in\left\{\left(2;2;8\right);\left(1;2;15\right)\right\}\)
24 tháng 4 2023
a: =>|x-2009|=2009-x
=>x-2009<=0
=>x<=2009
b: =>2x-1=0 và y-2/5=0 và x+y-z=0
=>x=1/2 và y=2/5 và z=x+y=1/2+2/5=5/10+4/10=9/10
1/x +1/y +1/z=1/x+y+z
<=>xy+yz+zx/xyz=1/x+y+z
<=>x^2y +xy^2+ 2xyz +y^2z +zx^2 +xyz +z^2x=0
<=>(x^2y +zx^2) +(xy^2 +2xyz +z^2x) +(y^2z +yz^2)=0
<=>x^2(y+z) +x(y+z)^2 +zy(y+z)=0
<=>(y+z)( x^2 +xy +xz zy)=0
<=>(y+z)[ x(x+y) +z(x+y) ]=0
<=>(y+z)(x+y)(x+z)=0
<=>x= -y : y= -z : z= -x
Vậy phương trình kia trở thành;
-1/y^2009 + 1/y^2009 +1/z^2009=1/ -y^2009 + y^2009 +z^2009
<=> 1/z^2009 = 1/z^2009
<=> z=z (luôn đúng)