Cho một tam giácABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB.
Cmr : Các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳngđồng qui khi và chỉ khi \(\frac{FA}{FB}.\frac{DC}{DB}.\frac{EC}{EA}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Vì $FN\parallel AC$ nên áp dụng định lý Talet:
\(\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{DB}{DC}\)
Nếu $NB=DC$ thì do $MB=MC$ nên $MB-NB=MC-DC$
$\Leftrightarrow MN=MD$ nên $M$ là trung điểm $DN$.
Nếu $NB\neq DC$ thì áp dụng TCDTSBN: $\frac{NC}{NB}=\frac{DB}{DC}=\frac{NC-DB}{NB-DC}=\frac{DC-NB}{NB-DC}=-1< 0$ (vô lý)
Vậy ta có đpcm.
b)
Vì $M$ là trung điểm $DN$, $P$ là trung điểm $DF$ nên $MP$ là đtb ứng với cạnh $FN$
$\Rightarrow MP\parallel FN$ và $MP=\frac{1}{2}FN(1)$
Mặt khác:
$FN\parallel AC\Rightarrow FN\parallel AE(2)$
$\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{EC}{EA}$ nên theo Talet đảo thì $EN\parallel AB$ hay $EN\parallel AF(3)$
Từ $(2); (3)$ suy ra $AENF$ là hình bình hành nên $AE=FN(4)$
Từ $(1); (2);(4)$ suy ra $MP\parallel AE$ và $MP=\frac{1}{2}AE$ (đpcm)
c) Gọi $G$ là giao điểm $AM$ và $EP$. Theo định lý Talet:
$\frac{AG}{GM}=\frac{EG}{GP}=\frac{AE}{MP}=2$
$\Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{EG}{EP}=\frac{2}{3}$
Do đó $G$ chính là trọng tâm của $ABC$ và $DEF$. Ta có đpcm.
ai biết phim hoạt hình gì ko phim hoạt hình có phép thuật ệ chỉ cho mình với
Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BO, CO kéo dài tại P và Q
Theo định lý Thales ta có: \(\frac{DB}{DC}=\frac{AP}{AQ},\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AP},\frac{FA}{FB}=\frac{AQ}{BC}\)
Nhân 3 đẳng thức vs nhau ta đc:
\(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AP}{AQ}.\frac{BC}{AP}.\frac{AQ}{BC}=1\) ( ĐPCM)
Đây là định lý CEVA mà, thầy chứng minh chiều thuận nhé.
Gọi O là giao điểm của 3 đường.
Ta có: \(\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{S_{FCA}}{S_{FCB}}=\dfrac{S_{FOA}}{S_{FOB}}=\dfrac{S_{FCA}-S_{FOA}}{S_{FCB}-S_{FOB}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{S_{OCA}}{S_{OCB}}\)(1)
Tương tự ta có:
\( \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{OAC}}\) (2)
\( \dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{OBC}}{S_{OBA}}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)
(Biểu thức trên của em cần đổi lại như của thầy nhé)
@phynit @phynit
Mới mấy ngày thôi nha thầy :)) Chưa đến cả tỉ năm tiếp âu :))