Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a ) Xét \(\left(O\right)\)có \(OB\perp CD\)
\(\Rightarrow H\)là trung điểm của CD
\(\Rightarrow HC=HD\)
Xét tứ giác \(ODBC\)có :
H là trung điểm của OB và CD
\(\Rightarrow\)tứ giác ADBC là hình thoi
b ) Vì tứ giác ADBC là hình thoi
\(\Rightarrow OC=BC\)
Mà \(OC=OB\left(=R\right)\)
\(\Rightarrow OC=OB=BC\)
\(\Rightarrow\Delta OBC\)là tam giác đều
\(\Rightarrow\widehat{BOC}=60^0\)
c ) Ta có : OB = BC (cmt)
Mà OB = BM
\(\Rightarrow OB=BC=BM\)
Xét \(\Delta OCM\)có :
CB là đường trung tuyến
Mà : \(BC=OB=BM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OCM\)vuông tại C nên :
\(OM^2=OC^2+CM^2\)( theo định lí Py - ta - go )
\(\Rightarrow MC^2=OM^2-OC^2=4R^2-R^2=3R^2\)
\(\Rightarrow MC=\sqrt{3}R\)
d ) Vì ODBC là hình thoi ( cmt )
\(\Rightarrow OB\)là đường phân giác của \(\widehat{COD}\)
\(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{DOH}\)
Có : \(\widehat{COH}+\widehat{HOI}=90^0\)
Hay \(\widehat{DOH}+\widehat{HOI}=90^0\)
Mà \(\widehat{HOI}+\widehat{HIO}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{HIO}\)
Xét \(\Delta HOI\)và \(HDO\)có :
\(\widehat{OHI}\): góc chung
\(\widehat{HIO}=\widehat{DOH}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta HIO~\Delta HDO\)
\(\Rightarrow\frac{OH}{HD}=\frac{HI}{OH}\Rightarrow HI.HD=OH^2\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(HB.HM=HC^2\)
Xét \(\Delta OCH\)vuông tại H
\(\Rightarrow OH^2+HC^2=OC^2\)
Nên : \(HI.HD+HB.HM=OH^2+HC^2=OC^2=R^2\)
Chúc bạn học tốt !!!
a) Xét tam giác cân OCD có OH là đường cao nên đồng thời là trung tuyến. Vậy thì HC = HD.
Xét tứ giác ODBC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo OB và CD vuông góc với nhau nên ODBC là hình thoi.
b) Do ODBC là hình thoi nên OC = CB.
Xét tam giác OBC có OB = OC = BC ( = R) nên OBC là tam giác đều. Vậy thì \(\widehat{OBC}=60^o\)
c) Xét tam giác OCM có CB là đường trung tuyến ứng với cạnh OM.
Lại có \(CB=\frac{1}{2}OM\) nên tam giác OCM vuông tại C.
Từ đó suy ra MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O)
d) Xét tam giác vuông OCM có CH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(CH^2=OH.HM=HB.HM\)
Tam giác OCI vuông tại C có OH là đường cao nên ta có:
\(OH^2=HI.HC=HI.HD\)
Vậy nên \(HI.HD+HB.HM=OH^2+CH^2=OC^2=R^2\)
Vậy \(HI.HD+HB.HM=R^2\)
a:
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó;ΔACB vuông tại C
=>BC vuông góc PA
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
=>AD vuông góc PB
Xét ΔPAB có
AD,BC là đường cao
AD cắt BC tại Q
Do đó: Q là trực tâm
=>PQ vuông góc AB
mà PH vuông góc AB
nên P,Q,H thẳng hàng
b: Xét tứ giác BHQD có
góc BHQ+góc BDQ=180 độ
=>BHQD nội tiếp
c: Xét tứ giác PCQD có
góc PCQ+góc PDQ=180 độ
=>PCQD nội tiếp
PCQD nội tiếp
=>góc CDQ=góc CPQ=góc APH
HBDQ nội tiếp
=>góc HDQ=góc CBA
mà góc CBA=góc APH(=90 độ-góc PAH)
nên góc CDQ=góc HDQ
=>DQ là phân giác của góc CDH
Đặt chu vi COH là \(P=OC+OH+CH\)
Ta có:
\(P=OC+OH+CH\le OC+\sqrt{2\left(OH^2+CH^2\right)}=OC+\sqrt{2OC^2}=OC\left(1+\sqrt{2}\right)=R\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(OH=CH\Rightarrow\Delta OCH\) vuông cân tại H
\(\Rightarrow\widehat{COH}=45^0\) hay C là điểm nằm trên cung AB sao cho OC hợp với AB 1 góc 45 độ
//Phía trên sử dụng BĐT \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) để đánh giá
a) Xét (O) có OB \(\perp\) CD
=> H là trung điểm của CD
=> HC=HD
Xét tứ giác ODBC có: H là trung điểm của OB,CD
=> tứ giác ADBC là hình bình hành
Mà: OC=OD(gt)
=> tứ giác ADBC là hình thoi
b)Vì tứ giác ADBC là hình thoi
=> OC=BC
Mà OC=OB(=R)
=> OC=OB=BC
=> ΔOBC là tam giác đều
=> góc BOC =60
c) Có: OB=BC(cmt)
Mà: OB=BM
=> OB=BC=BM
Xét ΔOCM có CB là đường trung tuyến
Mà: BC=OB=BM(cmt)
=> ΔOCM vuông tại C
=> góc ACM=90
=> MC là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔOCM vuông tại C nên:
\(OM^2=OC^2+CM^2\) ( theo đl pytago)
=> \(MC^2=OM^2-OC^2=4R^2-R^2=3R^2\)
=> \(MC=\sqrt{3}R\)
d) Vì ODBC là hình thoi (cmt)
=> OB là đường phân giác của góc COD
=> góc COH= góc DOH
Có: góc COH+ góc HOI =90
hay: góc DOH+ góc HOI = 90
Mà: góc HOI+ góc HIO =90
=> DOH = góc HIO
Xét ΔHOI và ΔHDO có:
góc OHI : góc chung
góc HIO = góc DOH(cmt)
=> ΔHOI ~ΔHDO
=> \(\frac{OH}{HD}=\frac{HI}{OH}\Rightarrow HI\cdot HD=OH^2\)
CHứng minh tương tự ta cũng có:
\(HB\cdot HM=HC^2\)
Xét ΔOCH vuông tại H
=> \(OH^2+HC^2=OC^2\)
Nên: \(HI\cdot HD+HB\cdot HM=OH^2+HC^2=OC^2=R^2\)
câu d) àm vậy cũng đúng nhưng dài quá, đòi hỏi phải biết kiếm tam giác đồng dạng, thật khó ở chỗ này
mình mới tìm ra cách giải mới
HI.HD = HI.HC= OH2
HB.HM= OH.HM=CH2
cộng vế với vế ta được: HI.HD +HB.HM = OH2 + CH2 =OC2 =R2