Cho a,b,c\(\ge\)0. CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
31 tháng 10 2015
Áp dụng bđt Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{bc}}\)+\(\sqrt{\frac{b}{ca}}\)≥ \(2\sqrt{\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}}\)= \(2\sqrt{\sqrt{\frac{1}{c^2}}}\)= \(2\sqrt{\frac{1}{c}}\) (vì c>0)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{ca}}\)+\(\sqrt{\frac{c}{ab}}\)≥ \(2\sqrt{\frac{1}{a}}\)
\(\sqrt{\frac{c}{ab}}\)+\(\sqrt{\frac{a}{bc}}\)≥ \(2\sqrt{\frac{1}{b}}\)
Cộng vế theo vế của các bđt với nhau, ta có: \(2\)\(\left(\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}\right)\text{≥}\)\(2\left(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}\right)\)
<=> \(\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}\text{≥}\)\(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2019
Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{ac}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}-\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
30 tháng 4 2020
Ta có \(a+b+b+b\ge4\sqrt[4]{abbb}\)(theo BĐT Cosi)
\(\Leftrightarrow a+3b\ge\sqrt[4]{ab^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+3b}{4}\ge4\sqrt[4]{ab^3}\)
Mà \(a,b,c\ge1\Rightarrow a+3b\ge4\Rightarrow\frac{a+3b}{4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt[4]{ab^3}\ge1+a\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}\le\frac{1}{1+a}\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}=\frac{1}{1+b}\left(2\right)\\\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}=\frac{1}{1+c}\left(3\right)\end{cases}}\)
(1) (2) (3) => \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3+1}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}\)(đpcm)
TN
23 tháng 10 2016
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Mặt khác:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\sqrt{\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot\sqrt{x+z}}\)
Áp dụng Bđt Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2\le2\left[\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le\frac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Vì \(VP^2=\frac{9}{2}\) nên cần chứng minh \(VT^2\le\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
bn tự lm tiếp
nhân 2 vào 2 vế rooiif côsi