Question

[ILoveMath]

CMR: 4ⁿ+15n-1⋮9 (n∈N)

Answer 1

[Phía sau một cô gái]

\(4^n+15n-1\) chia hết cho 9

Đặt \(A_n=4^n+15n-1\)

với n = 1 ⇒ \(A_1\) = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ Giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

\(A_k\) = ( \(4^k\) + 15k – 1 ) chia hết 9 ( giả thiết quy nạp )

Ta cần chứng minh: \(A_{k+1}\) chia hết 9

Thật vậy, ta có:

\(A^k\) + 1 = \(4^{k+1}\) + 15(k + 1) – 1

            = 4.\(4^k\) + 15k + 15 – 1

            = 4.( \(4^k\) + 15k – 1 ) – 45k+ 4+ 15 – 1

            = 4.( \(4^k\) +15k- 1 ) – 45k + 18

            = 4. \(A_k\) + ( - 45k + 18 ) 

Ta có: \(A_k\) ⋮ 9 và ( - 45k + 18) = 9 (- 5k + 2 ) ⋮ 9

Nên \(A_{k+1}\) ⋮ 9

Vậy \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9 ∀ n ∈ N

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

- Với \(n=3k\)

\(4^n+15n-1=4^{3k}+15.3k-1=64^k+45k-1\equiv1+0-1\equiv0\left(mod9\right)\)

- Với \(n=3k+1\)

\(4^{3k+1}+15\left(3k+1\right)-1=4.64^k+45k+14\equiv4+0-14\equiv0\left(mod9\right)\)

- Với \(n=3k+2\)

\(4^{3k+2}+15\left(3k+2\right)-1=16.64^k+45k+29\equiv16+29\equiv0\left(mod9\right)\)

Vậy \(4^n+15n-1⋮9\)