CMR: 4n+15n-1⋮9 (n∈N)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
4n + 15n – 1 chia hết cho 9
Đặt An = 4n + 15n – 1
với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9
+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9
Thật vậy, ta có:
Ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1
= 4.4k + 15k + 15 – 1
= 4.(4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1
= 4.(4k +15k- 1) – 45k + 18
= 4. Ak + (- 45k + 18)
Ta có: Ak⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9
Nên Ak + 1 ⋮ 9
Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Vì ƯCLN ( n + 5 ; n + 6 ) = 1
2) Gọi ƯCLN ( 3n + 5 ; 4n + 7 ) là d
=> ( 3n + 5 ) \(⋮\)d
( 4n + 7 ) \(⋮\)d
=> 4(3n + 5 ) \(⋮\)d
3 ( 4n + 7 ) \(⋮\)d
=> 12n + 20 \(⋮\)d
12n + 21 \(⋮\)d
=> d = 1
=>3n+5/4n+7 là phân số tối giản
câu 3 làm tương tự câu 2
#๖ۣۜβσʂʂ彡
Bổ sung câu 1 của Thiên Ân :
Để \(\frac{n+5}{n+6}\)là phân số tối giản
=> ƯCLN ( n + 5 ; n + 6 ) = 1
Gọi ƯCLN ( n + 5 ; n + 6 ) = d
=> n + 5 \(⋮\)d và n + 6 \(⋮\)d ( 1 )
Từ 1
=> ( n + 6 ) - ( n + 5 ) \(⋮\)d
=> 1 \(⋮\)d
=> d \(\in\)Ư ( 1 )
=> d = 1
=> \(\frac{n+5}{n+6}\)là phân số tối giản => đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi này là câu hỏi nâng cao nên rất khó
=>Nên hỏi dạy bộ môn Toán
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
15n-4n=11n chia hết cho n mà n là số nguyên nên để 11n chia hết cho n thì n thuộc Z
ta có: 15n-4n chia hết cho n
=> n.(15-4) chia hết cho n
=> n.9 chia hết cho n
mà n.9 chia hết cho n
=> n thuộc Z
\(4^n+15n-1\) chia hết cho 9
Đặt \(A_n=4^n+15n-1\)
với n = 1 ⇒ \(A_1\) = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9
+ Giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
\(A_k\) = ( \(4^k\) + 15k – 1 ) chia hết 9 ( giả thiết quy nạp )
Ta cần chứng minh: \(A_{k+1}\) chia hết 9
Thật vậy, ta có:
\(A^k\) + 1 = \(4^{k+1}\) + 15(k + 1) – 1
= 4.\(4^k\) + 15k + 15 – 1
= 4.( \(4^k\) + 15k – 1 ) – 45k+ 4+ 15 – 1
= 4.( \(4^k\) +15k- 1 ) – 45k + 18
= 4. \(A_k\) + ( - 45k + 18 )
Ta có: \(A_k\) ⋮ 9 và ( - 45k + 18) = 9 (- 5k + 2 ) ⋮ 9
Nên \(A_{k+1}\) ⋮ 9
Vậy \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9 ∀ n ∈ N
- Với \(n=3k\)
\(4^n+15n-1=4^{3k}+15.3k-1=64^k+45k-1\equiv1+0-1\equiv0\left(mod9\right)\)
- Với \(n=3k+1\)
\(4^{3k+1}+15\left(3k+1\right)-1=4.64^k+45k+14\equiv4+0-14\equiv0\left(mod9\right)\)
- Với \(n=3k+2\)
\(4^{3k+2}+15\left(3k+2\right)-1=16.64^k+45k+29\equiv16+29\equiv0\left(mod9\right)\)
Vậy \(4^n+15n-1⋮9\)