Cho các số nguyên a,b, c,d thỏa mãn \(a^5+b^5=29\left(c^5+d^5\right)\). CMR a+b+c+d chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
T
1
Những câu hỏi liên quan
T
1
XO
24 tháng 7 2021
a5 + b5 = 29(c5 + d5)
<=> a5 + b5 + c5 + d5 = 30(c5 + d5) \(⋮\)30 (1)
Xét hiệu a5 + b5 + c5 + d5 - (a + b + c + d)
= (a5 - a) + (b5 - b) + (c5 - c) + (d5 - d)
Ta có a5 - a = (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)
Nhận thấy : \(\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮30\left(\text{tích 5 số nguyên liên tiếp}\right)\\5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮30\end{cases}}\)
=> a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1) \(⋮\)30
=> a5 - a \(⋮\)30
Tương tự ta chứng minh được b5 - b \(⋮\)30 ; c5 - c\(⋮\)30 ; d5 - d \(⋮\)30
=> (a5 - a) + (b5 - b) + (c5 - c) + (d5 - d) \(⋮\)30
=> a5 + b5 + c5 + d5 - (a + b + c + d) \(⋮\)30 (2)
Từ (1) và (2) => a + b + c + d \(⋮\)30
T
0
TL
2
3 tháng 2 2018
a^5+b^5=4.(c^5-+d^5)
<=> a^5+b^5+c^5+d^5 = 5.(c^5+d^5) chia hết cho 5
Xét : a^5-a = a(a-2).(a+2).(a-1).(a+1)+5.a.(a-1).(a+1) chia hết cho 5
Tương tự : b^5-b ; c^5-c ; d^5-d đều chia hết cho 5
=> a^5+b^5+c^5+d^5-(a+b+c+d) chia hết cho 5
Mà a^5+b^5+c^5+d^5 chia hết cho 5
=> a+b+c+d chia hết cho 5
Tk mk nha
DP
1
19 tháng 10 2020
Ta có a^5-a luôn chia hết cho 6
suy ra a^5+...+d^5 -2016 chia hết cho 6
dpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2022
Đề bài bị sai, ví dụ với \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right)\) thì \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\) chia hết cho 5 nhưng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) ko chia hết cho 5
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2022
Do 5 là số nguyên tố, nên trong 3 nhân tử \(a^3+b^3;b^3+c^3;c^3+a^3\) phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a^3+b^3⋮5\) \(\Rightarrow a;b\) đều chia hết cho 5 hoặc đều ko chia hết cho 5
Nếu \(a+b\) ko chia hết cho 5:
- a;b đồng dư khi chia 5 \(\Rightarrow\) \(a^3+b^3\) chia 5 dư lần lượt là 2;3;3;2\(\Rightarrow\) ko chia hết cho 5 (ktm)
- a;b khác số dư khi chia 5, do vai trò của a;b là như nhau và a+b ko chia hết cho 5 nên ta có các trường hợp sau:
+ a chia 5 dư 1: nếu b chia 5 dư 2 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư -2 (ktm), nếu b chia 5 dư 3 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư -3 (ktm)
+ a chia 5 dư 2, b chia 5 dư 4 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư 2 (ktm)
+ a chia 5 dư 3, b chia 5 dư 4 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư 3 (ktm)
\(\Rightarrow a+b\) ko chia hết cho 5 thì \(a^2+b^2-ab\) cũng ko chia hết cho 5
\(\Rightarrow a^3+b^3\) ko chia hết cho 5 (mâu thuẫn giả thiết)
Vậy \(a+b⋮5\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)⋮5\)
Với \(x\)nguyên bất kì, ta có: \(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)+5x\left(x^2-1\right)\)
\(=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Có \(x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(5\)số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2,3,5\)mà \(\left(2,3,5\right)=1\)nên nó chia hết cho \(2.3.5=30\).
\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(3\)số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2,3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên chia hết cho \(2.3=6\)do đó \(5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)chia hết cho \(30\).
Vậy \(x^5-x\)chia hết cho \(30\).
Ta có:
\(a^5+b^5+c^5+d^5-\left(a+b+c+d\right)\)
\(=\left(a^5-a\right)+\left(b^5-b\right)+\left(c^5-c\right)+\left(d^5-d\right)\)chia hết cho \(30\)
nên \(\left(a^5+b^5+c^5+d^5\right)\equiv\left(a+b+c+d\right)\left(mod30\right)\)
mà \(a^5+b^5+c^5+d^5=30\left(c^5+d^5\right)⋮30\)
suy ra \(a+b+c+d\)chia hết cho \(30\).