Question

[Luyri Vũ]

Cho \(x,y,z\ge0,x+y+z=2\)

CMR: \(x^2y+y^2z+z^2x\le x^3+y^3+z^3\le1+\dfrac{1}{2}\left(x^4+y^4+z^4\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:

\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được

Ta chứng minh BĐT bên phải:

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)

\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị