CẦN GẤP
Cho 2 số x, y thỏa mãn \(x+y=26\)
Tìm GTNN của biểu thức \(P=x^3+y^3+26xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AJ
1
MT
29 tháng 6 2016
P=x3+y3+26xy=(x+y)(x2-xy+y2)+(x+y)xy
=(x+y)(x2+y2)
=26.(x2+y2)
=13.(x2+y2)(12+12)\(\ge\)13.(x+y)2=13.262=8788
Dấu "=" xảy ra khi x=y=13
Vậy GTNN của P là 8788 tại x=y=13
A
1
18 tháng 9 2016
\(P=x^3+y^3+26xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)xy\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(=26.\left(x^2+y^2\right)\)
\(=13.\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge12.\left(x+y\right)^2=13.26^2=8788\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=13\)
Vâỵ \(MIN_B=8788\) khi và chỉ khi \(x=y=13\)
Chúc bạn học tốt 
L
2
T
9 tháng 5 2019
Em có cách này không biết có đúng không ạ,em mới lớp 7 thôi.
\(S=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=2x^2-2xy+2y^2\)
Đặt \(S=2x^2-2xy+2y^2=a\left(x+y\right)^2+b\left(x-y\right)^2\) (ta đi tìm a, b)
Phân tích ra ta được: \(a\left(x+y\right)^2+b\left(x-y\right)^2\)
\(=ax^2+2xy.a+ay^2+bx^2-2xy.b+by^2\)
\(=\left(a+b\right)x^2+2xy\left(a-b\right)+\left(a+b\right)y^2\)
Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\a-b=-1\end{cases}}\).Giải ra ta tìm được: a = 1/2 và b = 3/2
Do đó: \(S=2x^2-2xy+2y^2=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{2}\left(x-y\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}.4=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\x+y=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy \(S_{min}=2\Leftrightarrow x=y=1\)
9 tháng 5 2019
\(S=x^3+y^3\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=2\left(x^2-xy+y^2\right)\ge2\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right]=2\left(2-1\right)=2\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
Vậy \(S_{min}=2\)khi \(x=y=1\)
:))
NH
15 tháng 5 2021
Ta có: 3x + y = 1 => y = 1 - 3x
a, Thay y = 1 - 3x vào M, ta có:
\(\Rightarrow M=3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+1-6x+9x^2=12x^2-6x+1=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{3}\right)\)
\(=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{12}=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-\frac{1}{2}=0\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN M = 1/4 khi x = y = 1/4
b, Thay y = 1 - 3x vào N
\(\Rightarrow N=x\left(1-3x\right)=x-3x^2=-3\left(x^2-\frac{x}{3}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}\right)\)
\(=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-3.\left(-\frac{1}{36}\right)=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\)
Vì \(\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\le\frac{1}{12}\forall x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{6}=0\\3x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy GTLN N = 1/12 khi x = 1/6 và y = 1/2
HN
1
13 tháng 4 2022
We have : \(A=x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{x+y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\right)\)
\(Applying\) C-S we have : \(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\ge2;\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\ge1\)
x + y \(\ge3\) \(\Rightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
So : \(A\ge\dfrac{3}{2}+2+1=\dfrac{9}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2023
Ta có: \(2x^3+2y^3-\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{y+z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{z+x}{2}\)
Cộng vế: \(P\ge x+y+z\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
25 tháng 4 2021
Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)
Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
Ta có:
\(P=x^3+y^3+26xy\)
Vì: x + y = 26
\(P=x^3+y^3+\left(x+y\right)xy\)
\(P=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)xy\)
\(P=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(P=26\left(x^2+y^2\right)\)
Mà \(x^2+y^2\ge0\left(\forall x,y\inℝ\right)\)
=> x^2 + y^2 đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y = 13
Vậy MinP = 26(13^2 + 13^2) = 8788
\(P=x^3+y^3+26xy\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+26xy\)
\(=26\left(x^2-xy+y^2\right)+26xy\)
\(=26\left(x^2+y^2\right)\)
Lại có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{26^2}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge26.\frac{26^2}{2}=8788\)
Dấu = xảy ra khi x=y=13