Question

[Nguyễn Đại Nghĩa]

BÀI TẬP  :  ( O) và ( O^,) có cùng bán kính R cắt nhau tại A và B  Sao cho tâm O nằm trên ( O^,) và tâm O^, nằm trên ( O) . Đường OO^, cắt AB tại H  cắt ( O^, ) tại C , F là điểm đối xứng với B qua O^,

a) C/M . AC là tiếp tiến của (O) , AC vuông góc với BF

b) Trên AC lấy D sao cho AD =AF . Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OC tại K cắt À tại G. E là giao điểm của AC và BF

C/M: ADKO nội tiếp

c) AHKG là hình gì

d) tính diện tích phần chung ( O) và ( O^,) theo R

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét đường tròn (O';R) có: Đường kính OC và điểm A nằm trên cung OC => ^OAC=90⁰

=> OA vuông góc với AC. Mà OA là bán kính của (O) => AC là tiếp tuyến của (O)

Ta thấy: 2 đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính R => OA=OB=O'A=O'B= R

=> Tứ giác AOBO' là hình thoi =>OA // O'B

Lại có: OA vuông góc AC (cmt) => O'B vuông góc AC (Qhệ //, vg góc) hay BF vuông góc AC (đpcm).

b) Xét tứ giác ADKO: ^DKO=^OAD=90⁰ (=^OAC)

=> Tứ giác ADKO nội tiếp đường tròn tâm là trg điểm OD (đpcm). 

c) Do tứ giác AOBO' là hình thoi nên AB vuông góc OO' (tại H) (1)

Ta có điểm B thuộc (O') và F đối xứng B qua O' => F thuộc (O') (Vì đường tròn có tâm đối xứng)

Xét (O') đường kính BF và A thuộc cung BF => AB vuông góc AF (2)

Từ (1) và (2) => OO' // AF

Xét tứ giác AOO'F: OO' // AF; OA // O'F (cmt) => Tứ giác AOO'F là hình bình hành

=> AF = OO'. Mà AF=AD nên AD=OO'.  Lại có: OO' = OA => AD=OA.

Xét tứ giác ADKO nội tiếp đường tròn => ^AOK+^ADK = 180⁰

Mà ^ADK + ^ADG = 180⁰ nên ^AOK=^ADG hay ^AOH=^ADG

Xét \(\Delta\)AHO và \(\Delta\)AGD: AO=AD (cmt); ^AOH=^ADG; ^AHO=^AGD=90⁰

=> \(\Delta\)AHO=\(\Delta\)AGD (Cạnh huyền góc nhọn) => AH=AG

Xét tứ giác AHKG: ^AHK=^HKG=^HAG=90⁰;  AH=AG (cmt) => Tứ giác AHKG là hình vuông.

d) Dễ thấy: AO=OO'=O'A => Tam giác AOO' đều => ^AO'O = 60⁰

Lại có: Hình bình hành AOO'F có O'O=O'F => Tứ giác AOO'F là hình thoi

=> ^AO'O=^AO'F = 60⁰ => ^FO'C = 60⁰

=> S_{Hình quạt  AO'O} = 1/6 S _(O) = \(\frac{R^2.\pi}{6}\)

Tương tự, suy ra: S _{H.quạt AO'O} = S _{H.quạt BO'O} = S _{H,quạt AOO'} = S _{H.quạt BOO'} = \(\frac{R^2.\pi}{6}\)

Cộng tất cả lại => \(S_1+S_2+S_3+S_4+2.S_{AOBO'}=4.\frac{R^2.\pi}{6}=\frac{2R^2.\pi}{3}\)

\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3+S_4+S_{AOBO'}=\frac{2R^2.\pi}{3}-S_{AOBO'}\)

\(\Rightarrow S_{P.C}=\frac{2R^2.\pi}{3}-R^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4R^2.\pi}{6}-\frac{3\sqrt{3}.R^2}{6}=\frac{R^2.\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)}{6}\)

\(=\frac{R^2.\left(4.3,14-3.1,73\right)}{6}=\frac{R^2.7,37}{6}\)(Chú thích S_{Phần chung}: S_P.C)

Vậy diện tích phần chung của (O0 và (O') tính theo R là \(S_{P.C}=\frac{7,37.R^2}{6}.\)

Answer 2

[KAl(SO4)2·12H2O]

a) Xét đường tâm O'

\(\widehat{OAC}=90^o\)