Question

[Đỗ Tuệ Lâm]

Cho (O;R); dây BC sao cho góc BOC = 120^o. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A.

a. CM tam giác ABC đều. Tính BC theo R.

b. M thuộc cung BC nhỏ (M bất kỳ). Vẽ tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Tính chu vi tam giác AEF. CM góc EOF không đổi.

c. OE, OF cắt BC tại I, K. CM tứ giác OIFC nội tiếp

d. CM EF = 2IK và \(S_{EOF}=4S_{IOK}\)

e. Xđ vị trí M để diện tích tam giác OEF đạt min.

(Làm giúp mình câu d và e với nha, mình cảm ơn nhiều:")

Answer 1

[Nguyễn An Ninh]

a. Ta có góc BOC = 120\(^0\)

\(\Rightarrow\)  góc BAC = 60\(^0\). Vì AB và AC là tiếp tuyến nên AB = AC.

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Vì tam giác ABC đều nên ta có BC = AB = AC = 2R.

b. Ta có góc BOC = 120\(^0\), suy ra góc BAC = 60\(^0\).

Gọi H là hình chiếu của O trên BC. Khi đó OH = R.cos60\(^0\) = R/2.

Gọi x = BM, y = MC. Ta có:

+ BH = R-X

+ CH = R-Y

+ AH = AB - BH = R + x

+ AH = AC - CH = R + y

 Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác a. Ta có góc BOC = 120\(^0\), suy ra góc BAC = 60\(^0\). Vì AB và AC là tiếp tuyến nên AB = AC. Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Vì tam giác ABC đều nên ta có BC = AB = AC = 2R.

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABOM và ACOM, ta có:

AB . OM + AC . OM = AO . BC

R . (x + y) + R . (x + y + BC) = AO . BC

R . (2x + 2y + BC) = AO . BC

Do đó, ta có: BC = (2R . x)/(AO - 2R) = (2R . y)/(AO - 2R)

Gọi T là điểm cắt của tiếp tuyến tại M với BC. Ta có:

+ OT vuông góc với BC

+ MT là đường trung bình của tam giác OBC

Do đó, ta có: MT = (1/2)BC = R . x/(AO - 2R) = R . y/(AO - 2R)

Gọi G là trọng tâm của tam giác AEF. Ta có:

+ OG song song với EF và bằng một nửa đường cao AH của tam giác ABC

+ AG = (2/3)AH

Do đó, ta có: OG = (1/3)AO và EF = 20G = (2/3)AO/3

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác OFCI, ta có:

OF . IC + OI . FC = OC . FI

R . (y + EF) + R . x = R . (y+x)

R . y + (2/3)AO/3 = R . x

Do đó, ta có: R.y/(AO-2R) + (2/3)AO/(3R) = R.x/(AO-2R)

Tổng quát hóa, ta có: nếu M thuộc cung BC nhỏ thì chu vi tam giác AEF không đổi.

Câu c. mik ko bt làm