Cho hình bình hành $ABCD$ đường thẳng $a$ đi qua $A$ lần lượt cắt $BD$, $BC$, $DC$ tại $E$, $K$, $G$. Chứng minh rằng:
a) $AE^2=EK.EG$;
b) $\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}$;
c) Khi $a$ thay đổi thì tích $BK.DG$ có giá trị không đổi?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\)
\( \Rightarrow AB//DG;AB//CG;BK//AD;KC//AD\)
Xét tam giác \(DEG\) có \(AB//DG\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (1)
Xét tam giác \(ADE\) có \(BK//AD\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EK}}{{AE}} \Rightarrow A{E^2} = EG.EK\) (điều phải chứng minh).
b) Xét tam giác \(AED\) có:
\(AD//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}}\)(3)
Xét tam giác \(AEB\) có
\(AB//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) (4)
Từ (3) và (4) ta được:
\(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{BD}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1\)
Ta có: \(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\) (chia cả hai vế cho \(AE\)) (điều phải chứng minh).
a) Ta thấy \(\dfrac{EA}{EK}=\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EG}{EA}\) nên \(AE^2=EK.EG\) (đpcm)
b) Ta có \(\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{DB}+\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{DE+BE}{BD}=1\) nên suy ra \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)
b)
AB // DG suy ra AE / AG = BE / BD
AD // BC suy ra AE / AK = DE / BD
Suy ra AE / AG + AE / AK = BE /BD + DE / BD = BD / BD = 1
Chia 2 vế cho AE
1 / AG + 1 / AK = 1/ AE
a) AB // CG suy ra AE / EG = BE / ED
AD // BC suy ra EK / AE = BE / ED
Suy ra AE / EG = EK / AE
Suy ra AE^2 = EK.EG
a) Vì ABCD là hình bình hành ( gt )
Và K thuộc BC nên
AD // BK Theo hệ quả của định lý Ta-let ta có :
\(\frac{EK}{AE}=\frac{EB}{ED}=\frac{AE}{EG}\Rightarrow\frac{EK}{AE}=\frac{AF}{EG}\Rightarrow AE^2=EK.EG\)
b) Ta có :
\(\frac{AE}{EK}-\frac{DE}{DB};\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}\)nên
\(\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}-\frac{BE}{BD}+\frac{DE}{DB}-\frac{BD}{BD}-1\Rightarrow\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\)
c) bạn tự làm tiếp mỏi tay quá
Giải nốt bài của Pác Hiếu:3
Đặt \(AB=a',AD=b\)
Áp dụng Đ/L Thales vào tam giác ABK,ta có:
\(\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{CG}\Rightarrow\frac{a'}{CG}=\frac{BK}{KC}\left(1\right)\)
Áp dụng Đ/L Thales vào tam giác ADG,ta có:
\(\frac{CG}{DG}=\frac{CK}{AD}\Rightarrow\frac{CG}{DG}=\frac{CK}{b}\left(2\right)\)
Nhân vế theo vế của (1);(2) ta có:
\(\frac{BK}{b}=\frac{a'}{DG}\Rightarrow BK\cdot DG=a'b\) không đổi.
a) Δ���ΔABE có ��AM // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDEB (1)
Δ���ΔADE có ��AD // ��BK suy ra ����=����EDEB=EAEK (2)
Từ (1) và (2) ta có ����=����EGAE=EAEK nên ��2=��.��AE2=EK.EG.
b) Từ 1��=1��+1��AE1=AK1+AG1 suy ra ����+����=1AKAE+AGAE=1
Δ���ΔADE có ��AD // ��BC suy ra ����=����EKAE=EBED
����+��=����+��AE+EKAE=ED+EBED
����=����AKAE=DBED (3)
Tương tự Δ���ΔAEB có ��AB // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDBE
����+��=����+��AE+EGAE=BE+EDBE
����=����AGAE=BDBE (4)
Khi đó ����+����=����+����=1AKAE+AGAE=BDED+BDBE=1.
c) Ta có ����=����KCBK=CGAB suy ra ��=��.����BK=CGKC.AB và ����=����ADKC=DGCG.
Suy ra ��=��.����DG=KCAD.CG
Nhân theo vế ta được ��.��=��.��BK.DG=AB.AD không đổi.
a) Δ���ΔABE có ��AM // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDEB (1)
Δ���ΔADE có ��AD // ��BK suy ra ����=����EDEB=EAEK (2)
Từ (1) và (2) ta có ����=����EGAE=EAEK nên ��2=��.��AE2=EK.EG.
b) Từ 1��=1��+1��AE1=AK1+AG1 suy ra ����+����=1AKAE+AGAE=1
Δ���ΔADE có ��AD // ��BC suy ra ����=����EKAE=EBED
����+��=����+��AE+EKAE=ED+EBED
����=����AKAE=DBED (3)
Tương tự Δ���ΔAEB có ��AB // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDBE
����+��=����+��AE+EGAE=BE+EDBE
����=����AGAE=BDBE (4)
Khi đó ����+����=����+����=1AKAE+AGAE=BDED+BDBE=1.
c) Ta có ����=����KCBK=CGAB suy ra ��=��.����BK=CGKC.AB và ����=����ADKC=DGCG.
Suy ra ��=��.����DG=KCAD.CG
Nhân theo vế ta được ��.��=��.��BK.DG=AB.AD không đổi.
a) Δ���ΔABE có ��AM // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDEB (1)
Δ���ΔADE có ��AD // ��BK suy ra ����=����EDEB=EAEK (2)
Từ (1) và (2) ta có ����=����EGAE=EAEK nên ��2=��.��AE2=EK.EG.
b) Từ 1��=1��+1��AE1=AK1+AG1 suy ra ����+����=1AKAE+AGAE=1
Δ���ΔADE có ��AD // ��BC suy ra ����=����EKAE=EBED
����+��=����+��AE+EKAE=ED+EBED
����=����AKAE=DBED (3)
Tương tự Δ���ΔAEB có ��AB // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDBE
����+��=����+��AE+EGAE=BE+EDBE
����=����AGAE=BDBE (4)
Khi đó ����+����=����+����=1AKAE+AGAE=BDED+BDBE=1.
c) Ta có ����=����KCBK=CGAB suy ra ��=��.����BK=CGKC.AB và ����=����ADKC=DGCG.
Suy ra ��=��.����DG=KCAD.CG
Nhân theo vế ta được ��.��=��.��BK.DG=AB.AD không đổi.
a) Δ���ΔABE có ��AM // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDEB (1)
Δ���ΔADE có ��AD // ��BK suy ra ����=����EDEB=EAEK (2)
Từ (1) và (2) ta có ����=����EGAE=EAEK nên ��2=��.��AE2=EK.EG.
b) Từ 1��=1��+1��AE1=AK1+AG1 suy ra ����+����=1AKAE+AGAE=1
Δ���ΔADE có ��AD // ��BC suy ra ����=����EKAE=EBED
����+��=����+��AE+EKAE=ED+EBED
����=����AKAE=DBED (3)
Tương tự Δ���ΔAEB có ��AB // ��DG suy ra ����=����EGAE=EDBE
����+��=����+��AE+EGAE=BE+EDBE
����=����AGAE=BDBE (4)
Khi đó ����+����=����+����=1AKAE+AGAE=BDED+BDBE=1.
c) Ta có ����=����KCBK=CGAB suy ra ��=��.����BK=CGKC.AB và ����=����ADKC=DGCG.
Suy ra ��=��.����DG=KCAD.CG
Nhân theo vế ta được ��.��=��.��BK.DG=AB.AD không đổi.