Question

[Nguyễn Mai Anh]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và O là điểm bất kì trong tam giác. Từ O hạ OM vuông góc AC (M thuộc AC); OI vuong góc AB (I thuộc AB); OH vuông góc BC (H thuộc B). Chứng minh rằng :

\(AB^2+BH^2+CM^2=AM^2+CH^2+BI^2.\)

 

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Áp dụng định lý Pytago lên các tam giác vuông

+) \(\Delta\)AOI vuông tại I và \(\Delta\) AOM vuông tại M

=> AI²+IO²=AO²=AM²+OM²

+) \(\Delta\)BOI vuông tại I và \(\Delta\)BOH vuông tại H

=> BI²+IO²=BO²=BH²+CH²

+) \(\Delta\)COM vuông tại M và \(\Delta\)COH vuông tại H

=> CM²+MO²=CO²=CH²+OH²

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AI^2+IO^2=AM^2+CM^2\left(1\right)\\BH^2+CH^2=BI^2+IO^2\left(2\right)\\CM^2+MO^2=CH^2+OH^2\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng vế với vế của (1)(2)(3)

\(\Rightarrow AI^2+BH^2+CM^2+\left(IO^2+CH^2+MO^2\right)=\left(IO^2+OH^2+MO^2\right)+AM^2+BI^2+AH^2\)

\(\Rightarrow AI^2+BH^2+CM^2=AM^2+CH^2+CH^2\)hay \(AB^2+BH^2+CM^2=AM^2+CH^2+BI^2\left(đpcm\right)\)