Question

[Nguyễn Quỳnh Anh]

Cho tam giác ABC. Vẽ góc DAB = 60 độ; AB=AD (AB và AC khác phía đối với AB). Vẽ góc CAE = 60 độ; AE = AC ( AE và AB khác phía đối với AC). DC cắt BE tại K
a) chứng minh góc DAC=BAE
b) Chứng minh DC=BE
c) Tính góc BKC

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

a) 

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=60^o+\widehat{BAC}\\\widehat{BAE}=\widehat{CAE}+\widehat{BAC}=60^o+\widehat{BAC}\end{cases}\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BAE}}\)

b) Xét \(\Delta\)DAC và \(\Delta\)BAE có:

\(\hept{\begin{cases}AD=AB\\\widehat{DAC}=\widehat{BAE}\\AC=AE\end{cases}\Rightarrow\Delta DAC=\Delta BAE\left(cgc\right)}\)

=> DC=BE (2 cạnh tương ứng)

c) Theo câu (b) ta có: \(\Delta DAC=\Delta BAE\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{ABE}\)hay \(\widehat{IDA}=\widehat{IBK}\left(1\right)\)

Gọi I là giao của DC và AB

Xét \(\Delta IBK:\widehat{IBK}+\widehat{IKB}+\widehat{BIK}=180^o\left(2\right)\)

Xét \(\Delta AID:\widehat{AID}+\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=180^o\left(3\right)\)

Mà \(\widehat{BIK}=\widehat{AID}\)(2 góc đối đỉnh)(4)

Từ (1)(2)(3)(4) => \(\widehat{IKB}=\widehat{IAD}=60^o\)hay \(\widehat{DKB}=60^o\)

Ta có: \(\widehat{EKC}=\widehat{DKB}=60^o;\widehat{DKE}=\widehat{BKC}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{DKB}+\widehat{DKE}+\widehat{EKC}+\widehat{BKC}=360^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{DKB}+2\widehat{BKC}=360^o\)

\(\Rightarrow2\cdot60^o+2\cdot\widehat{BKC}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BKC}=120^o\)