TX
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TX
0
4 tháng 9 2019
a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)
\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)
\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)
\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)
Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)
Tìm nốt y và thay vào tìm ra x
5 tháng 9 2019
a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)
\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)
\(\Leftrightarrow0< y\le8\)
\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt
17 tháng 1 2018
Ta có:
\(xy+yz+zx=4xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)
\(P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
17 tháng 1 2018
áp dụng cô si sháp cho 4 số ta được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\) Luôn đúng , ( tự chứng minh )
\(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d}\) luôn luôn đúng
áp dụng vào P ta được như sau
\(\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) luôn đúng :))
\(\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng tất cả vào ta được
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)
Thèo đề \(xy+yz+xz=4xyz\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz+xyz+xyz+xyz\)
Tao cũng éo hiểu tại sao nó = nhau được
1 đề sai , 2 tao sai thế thôi
AJ
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020
Lời giải:
Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $1+yz; 1+xz; 1+xy\geq 1+xyz$
$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}$
Ta cần chứng minh: $\frac{x+y+z}{1+xyz}\leq 2$
$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2+2xyz(*)$
Thật vậy:
$x,y\in [0;1]\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z(1)$
Mà:
$xy+z+1-(2+2xyz)=xy+z-2xyz-1=xy(1-z)-(1-z)-xyz=(xy-1)(1-z)-xyz\leq 0$ do $0\leq x,y,z\leq 1$)
$\Rightarrow xy+z+1\leq 2+2xyz(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow x+y+z\leq 2+2xyz$
BĐT $(*)$ đc chứng minh nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị
9 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 sô dương ta có: \(x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(y^2+zx\ge2y\sqrt{zx};z^2+xy\ge2z\sqrt{xy}\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được:
\(\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{zx}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\le\frac{x+y+z}{xyz}\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
9 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: \(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(y^2+zx\ge2y\sqrt{zx},z^2+xy\ge2z\sqrt{xy}\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được:
\(\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{zx}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\le\frac{x+y+z}{xyz}\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
9 tháng 3 2020
Cách 2:
Ta chuẩn hóa xyz=1
BĐT viết lại là \(\frac{x}{x^3+1}+\frac{y}{y^3+1}+\frac{z}{z^3+1}\le\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Ta sử dụng đánh giá
\(x-\frac{2x}{x^3+1}+\frac{3}{2}\ge\frac{9x^2}{2\left(x^2+x+1\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(2x^4+3x^2+7x+3\right)}{2\left(x^3+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\ge0\)
Do vậy ta cần c/m \(\frac{x^2}{x^2+x+1}+\frac{y^2}{y^2+y+1}+\frac{z^2}{z^2+z+1}\ge1\)
ta có \(\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(\frac{a^2}{bc};\frac{b^2}{ca};\frac{c^2}{ab}\right)\)
BĐT viết lại là \(\frac{a^4}{a^4+a^2bc+\left(bc\right)^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ca+\left(ca\right)^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+\left(ab\right)^2}\ge1\)
Theo bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)+\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2}\)
Theo bđt AM-GM ta có
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(ab\right)^2+2\left(bc\right)^2+2\left(ca\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=> x=y=z