Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Thấy rằng $u_n>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+12}}{n+1}: \frac{\sqrt{n+11}}{n}=\frac{\sqrt{n^2(n+12)}}{\sqrt{(n+1)^2(n+11)}}=\sqrt{\frac{n^3+12n^2}{n^3+13n^2+23n+11}}<1\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm.
Lời giải:
Có:
\(u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+4}-\sqrt{n+1}-(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\)
\(=(\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<0\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
Do đó dãy đã cho là dãy giảm.
Lời giải:
Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$
$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ
Do đó dãy không tăng cũng không giảm.
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
a) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Dãy số là dãy số tăng
b) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 - 2n - 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { - 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Dãy số là dãy số giảm
c) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( { - 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {2^n} - 1} \right]\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {2^{n + 1}} - 1 - {2^n} - 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {{3.2}^n} - 2} \right)\end{array}\)
=> Dãy số không tăng không giảm.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =[2\left( {n + 1} \right) - 1] - (2n - 1) = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\;\forall \;n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = [- 3\left( {n + 1} \right) + 2] - (3n + 2) = - 3\left( {n + 1} \right) + 2 + 3n - 2 = - 3 < 0\;\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
c, Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{{{{( - 1)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\\{u_2} = \frac{{{{( - 1)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = - \frac{1}{4} < 0\\{u_3} = \frac{{{{( - 1)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\\{u_4} = \frac{{{{( - 1)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = - \frac{1}{{16}} < 0\\...\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.