Question

[123456789]

Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1;2;3;....;100.Gọi A là số có được bằng cách sắp xếp một cách tùy ý các số đó thành 1 dãy.Gọi B là số có được bằng cách đặt dấu [+]  một cách tùy ý vào giữa các chữ số của A.Hỏi:

a) số A có chia hết cho 2007 không ?

b) số B có chia hết cho 2007 không ?

Vì sao?

Answer 1

[Trần Khánh Linh]

Gọi tổng các chữ số của A là (S)

Trong dãy số 1;2;3...;100

Ta bỏ riêng số 100 ra và lập thành một dãy mới:

0;1;2;...;99 (*)

Ta ghép thành từng cặp:

(0;99);(1;98);(2;97);...;(49;50)

Tổng các chữ số của 2 số trong một cặp là:18

Do đó tổng các chữ số của các số trong (*) là: 18.50 = 900

Suy ra S(A) = 900+1 = 901 ( vì số một trăm có đồng dư chữ số là 1 )

Suy ra S(A) chia cho 9 dư 1

Suy ra A  ko chia hết cho 9 suy ra A ko chia hết cho 2007 (vì 2007 chia hết cho 9 )

PHẦN B

Ta thấy một tổng luôn đồng dư với tổng các chữ số của  các số hạng khi chia cho cho 9.Do đó B đồng dư với A khi chia cho 9 

Suy ra B chi cho 9 dư 1

Suy ra B ko chia hết cho cho 9 suy ra B ko chia hết cho 2007