Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BPT đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi BPT \(f\left(x\right)\le0\) nghiệm đúng với mọi x
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m-6=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m-6< 0\\\Delta=\left(2m-3\right)^2+4\left(2m^2+m-6\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m-6< 0\\12m^2-8m-15\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< \dfrac{3}{2}\\-\dfrac{5}{6}\le m\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{5}{6}\le m< \dfrac{3}{2}\)
Kết hợp 2 trường hợp ta được \(-\dfrac{5}{6}\le m\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+2\left(m+3\right)x+4m+12=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Để pt đã cho có 3 nghiệm pb lớn hơn -1 \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1;x_2\ne1\\-1< x_1< x_2\end{matrix}\right.\)
\(a+b+c\ne0\Leftrightarrow1+2m+6+4m+12\ne0\Rightarrow m\ne-\frac{19}{6}\)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(4m+12\right)>0\Leftrightarrow m^2+2m-3>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>1\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+3\right)\\x_1x_2=4m+12\end{matrix}\right.\)
\(-1< x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\frac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_2+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m+12-2m-6+1>0\\-2\left(m+3\right)>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\frac{7}{2}\\m< -2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{7}{2}< m< -2\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{7}{2}< m< -3\\m\ne-\frac{19}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m+2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-7>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\\m< -1\end{matrix}\right.\) (1)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
Để \(x_1< x_2< 1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1>0\\\dfrac{m-1}{2}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4>0\\m< 3\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với (1) ta được: \(m< -1\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2\left(m^2-1\right)=-m^2-2m+3>0\)
\(\Rightarrow-3< m< 1\)
Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(P=\left(x_1-x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\)
\(P=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(P=\left(m-1\right)^2-4\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)\)
\(P=-m^2-2m+3=-\left(m^2+2m+1\right)+4\)
\(P=-\left(m+1\right)^2+4\le4\)
\(P_{max}=4\) khi \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\) (thỏa mãn)
b) ĐKXĐ: \(x,y\neq 0\).
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=y-\dfrac{1}{y}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\dfrac{y-x}{xy}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\xy=-1\end{matrix}\right.\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\).
Với x - y = 0 suy ra x = y. Do đó \(2x=x^3+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1=y\left(TMĐK\right)\\x=\pm\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=y\left(TMĐK\right)\end{matrix}\right.\).
Với xy = -1 suy ra \(y=-\dfrac{1}{x}\). Do đó \(x^3+\dfrac{2}{x}+1=0\Rightarrow x^4+x+2=0\). Phương trình vô nghiệm do \(x^4+x+2=\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}>0\).
Vậy...
Phương trình luôn có 1 nghiệm \(x=1\)
Xét \(x^2+2\left(m+3\right)x+4m+12=0\) (1)
Để pt đã cho có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì (1) có 2 nghiệm pb khác 1 và lớn hơn -1
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\a+b+c\ne0\\-1< x_1< x_2\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\Delta'=m^2+6m+9-4m-12=m^2+2m-3>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>1\end{matrix}\right.\)
\(a+b+c\ne0\Leftrightarrow1+2m+6+4m+12\ne0\Rightarrow m\ne-\frac{19}{6}\)
\(-1< x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x_1+x_2}{2}>-1\\\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>-2\\x_1x_2+x_1+x_2+1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\left(m+3\right)>-2\\4m+12-2\left(m+3\right)+1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m>-\frac{7}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{7}{2}< m< -2\)
Kết hợp lại ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{7}{2}< m< -3\\m\ne-\frac{19}{6}\end{matrix}\right.\)