Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)
Khi đó điều kiện đb tương ứng
\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)
\(\Leftrightarrow3.\left(x+y\right).\left(x+z\right).\left(x+z\right)=24\)
\(\Rightarrow3.\left(2a+4b\right).\left(2b+4c\right).\left(2c+4a\right)=24\)
\(\Rightarrow\left(a+2b\right).\left(b+2c\right).\left(c+2a\right)=1\)
Do đó ta có đpcm
Chúc bạn học tốt!
Lời giải:
Đặt \((3a+b-c,3b+c-a,3c+a-b)=(x,y,z)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+3b+3c=x+y+z\\ a+2b=\frac{x+y}{2}\\ b+2c=\frac{y+z}{2}\\ c+2a=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Bài toán trở thành:
Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn \((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)
CMR: \((x+y)(y+z)(x+z)=8\)
------------------------------------------------
Áp dụng HĐT \(m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)\) ta có:
\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y+z)^3-3xy(x+y)-3z(x+y)(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow 3(x+y)[z(x+y+z)+xy]=24\)
\(\Leftrightarrow (x+y)[z(y+z)+x(z+y)]=8\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(z+x)(z+y)=8\) (đpcm)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)
Khi đó điều kiện đb tương ứng
\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)=24\)
\(\Rightarrow3\left(2a+4b\right)\left(2b+4c\right)\left(2c+4a\right)=24\)
\(\Rightarrow\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)=1\)
Do đó ta có \(đpcm\)
Chúc bạn học tốt!
nhìn cách làm là biết của web khác.You ko nên zô phần câu hỏi tương tự,qua web khác đọc rồi lại viết ngay về web mk.Có lòng thì cho người ta cái link.Vì GP mà ko bik phân biệt nx r........
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Sửa đề: CMR: \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)\(\forall m;n>0\)Tự chứng minh
Áp dụng bđt trên, ta có
\(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Vậy..........
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a+b\\y=b+2c\\z=c+2a\end{cases}\Rightarrow x+y+z=3a+2b+3c}\)
Khi đó biểu thức đã cho trở thành :
\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+450\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)=x^3+y^3+z^3+450\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=90\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2b+2c\right)\left(b+3c+2a\right)\left(3a+c+b\right)=90\)
Phân tích 90 thành tích của 3 số nguyên dương rồi bạn tìm được \(a,b,c\) tương ứng.
Lời giải:
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩3a+b−c=x3b+c−a=y3c+a−b=z{3a+b−c=x3b+c−a=y3c+a−b=z
Khi đó, điều kiện đb tương đương với:
(x+y+z)3=24+x3+y3+z3⇔3(x+y)(y+z)(x+z)=24(x+y+z)3=24+x3+y3+z3⇔3(x+y)(y+z)(x+z)=24
⇔3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24⇔3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24
⇔(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1⇔(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1
Do đó ta có đpcm
Lời giải:
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩3a+b−c=x3b+c−a=y3c+a−b=z{3a+b−c=x3b+c−a=y3c+a−b=z
Khi đó, điều kiện đb tương đương với:
(x+y+z)3=24+x3+y3+z3⇔3(x+y)(y+z)(x+z)=24(x+y+z)3=24+x3+y3+z3⇔3(x+y)(y+z)(x+z)=24
⇔3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24⇔3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24
⇔(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1⇔(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1
Do đó ta có đpcm