Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy (x-3)2,(x-2)2+|x-1| luôn luôn dương,x dương hoặc âm
- Xét x lẻ
=>(x-3)2 luôn chẵn; (x-2)2 luôn lẻ; |x-1| luôn chẵn; x lẻ (theo giả thiết 1)
=>(chẵn +chẵn )+(lẻ +lẻ)
=chẵn + chẵn
=chẵn chia hết 2.Mà 2013 ko chia hết 2
=>vô nghiệm (1)
- Xét x chẵn
=>(x-3)2 luôn lẻ; (x-2)2 luôn chẵn; |x-1| luôn lẻ; x chẵn (theo giả thiết 2)
=>(lẻ + lẻ )+(chẵn +chẵn)
=chẵn + chẵn
= chẵn cũng chia hết 2.Mà 2013 ko chia hết 2
=>vô nghiệm (2)
Từ (1) và (2) =>pt trên vô nghiệm vs mọi x
Đặt \(H\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x^2+2\right)\)
\(\Rightarrow H\left(1\right)=H\left(3\right)=H\left(5\right)=0\)
\(\Rightarrow H\left(x\right)\) có 3 nghiệm 1; 3; 5
\(\Rightarrow H\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=H\left(x\right)+x^2+2=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)+x^2+2\)
\(\Rightarrow P\left(-2\right)+7P\left(6\right)=-105\left(-2-a\right)+4+2+7\left[15\left(6-a\right)+36+2\right]=1112\)
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-x-1\Rightarrow g\left(2\right)=g\left(3\right)=g\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) có 3 nghiệm 2;3;4
\(\Rightarrow g\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)+x+1=a\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+x+1\)
\(f\left(5\right)=10\Rightarrow a\left(5-2\right)\left(5-3\right)\left(5-4\right)+5+1=10\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+x+1\)
\(\Rightarrow f\left(6\right)=\dfrac{2}{3}.4.3.2+6+1=...\)
Từ giả thiết ta có \(P\left(k\right).\left(k+1\right)=k\)
Đặt \(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)
Khi đó \(Q\left(k\right)=\left(k+1\right).P\left(k\right)-k=0\) thỏa mãn với mọi \(k\in\left\{0;1;2;3;4;.............;2020\right\}\)
Theo định lý Bézout ta có
\(Q\left(x\right)=x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right).R\left(x\right)\)
Vì đa thức \(P\left(x\right)\) có bậc là 2020 nên đa thức \(Q\left(x\right)\) có bậc là 2021.
Suy ra đa thức \(R\left(x\right)\) có bậc là 0 , hay còn gọi là đa thức \(R\left(x\right)\) không chứa biến số.
Đặt \(R\left(x\right)=a\) với \(a\in R\)
Khi đó đa thức \(Q\left(x\right)\) có dạng như sau :
\(Q\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right)\)
Mặt khác , ta lại có
\(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)
Thay \(x=-1\) ta có \(Q\left(-1\right)=1\)
Suy ra \(a.\left(-1\right).\left(-2\right).\left(-3\right).\left(-4\right).....\left(-2021\right)=1\)
Suy ra \(a=\dfrac{-1}{2021!}\)
Khi đó đa thức \(Q\left(x\right)\) có dạng như sau :
\(Q\left(x\right)=\dfrac{-1}{2021!}.x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right)\)
Mặt khác ta lại có \(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)
Thay \(x=2021\) ta có
\(Q\left(2021\right)=2022.P\left(2021\right)-2021\)
\(\Rightarrow\dfrac{-1}{2021!}.2021.2020.....1=2022.P\left(2021\right)-2021\)
\(\Rightarrow-1=2022.P\left(2021\right)-2021\)
\(\Rightarrow P\left(2021\right)=\dfrac{1010}{1011}\)