Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này chỉ đơn giản là Cô si ngược dấu, mà thêm tên t vào làm cái qq gì-_-
tth_new bác này ở trình khác r.
\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b+1}=a-\frac{ab^2}{b+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng lại \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mà \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)(1)
Áp dụng BĐT quen thuộc \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) :
\(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\)(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)
Đầu tiên chứng minh:
\(a^3+b^3+c^3\ge ba^2+cb^2+ac^2\)
Ta có:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+a^3+b^3\right)+\left(b^3+b^3+c^3\right)+\left(c^3+c^3+a^3\right)\)
\(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ba^2+cb^2+ac^2\)
Quay lại bài toán ta có:
\(\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\)
\(=\frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}+\frac{b^4}{b^2+b^2c-b^3}+\frac{c^4}{c^2+c^2a-c^3}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{1+b-a}+a^2\left(1+b-a\right)\ge2a^2\)
\(\frac{b^2}{1+c-b}+b^2\left(1+c-b\right)\ge2b^2\)
\(\frac{c^2}{1+a-c}+c^2\left(1+a-c\right)\ge2c^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT+a^2b+b^2c+c^2a-a^3-b^3-c^3\ge1\)
Cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
Tiếp tục xài AM-GM \(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
TƯơng tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Từ dk suy ra 1/bc+1/ac+1/ab+1/c+1/b+1/a=6 đặt 1/a=x;1/b=y;1/c=z→x+y+x+xy+yz+xz=6 ta phải cm x2+y2+z2>=3 Ta có:2(x2+y2+z2)>=2(xy+yz+xz) (1) (x-1)2>=0→x2>=2x-1 Tương tự :y2>=2y-1;z2>=2z-1 do đó :x2+y2+z2>=2(x+y+z)-3 (2) cộng vế 1 vs 2 ta có:3(x2+y2+z2)>=2(x+y+z+xy+yz+xz)-3 <=>3(x2+y2+z2)>=2.6-3 <=>x2+y2+z2>=3
KUDO NÈO CHỨ
gọi vại nhột nhiều ng lắm
Giải hộ !
Đặt \(A=\frac{\frac{1}{2}c+ab}{a+b}+\frac{\frac{1}{2}a+bc}{b+c}+\frac{\frac{1}{2}b+ac}{a+c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)c+ab}{a+b}+\frac{\left(a+b+c\right)a+bc}{b+c}+\frac{\left(a+b+c\right)b+ac}{a+c}\)
\(=\frac{ac+bc+c^2+ab}{a+b}+\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}+\frac{ab+b^2+bc+ac}{a+c}\)
\(=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương :
\(\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=2\sqrt{\left(a+c\right)^2}\)
\(=2\left(a+c\right)\)
C/m tương tự :
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\left(b+c\right)\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên lại ta được :
\(2A\ge2\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow2A\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\left(a+b+c\right)=2.\frac{1}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{6}}\)
Vậy .............