K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 10 2015

đặt

\(sinx=t\Rightarrow dt=cosxdx\)

\(\int\sqrt{1-sin^2x}.cosxdx=\int\left|cosx\right|cosxdx\)

giả sử cosx>0

ta có

\(\int cos^2xdx=\int\frac{1+cos2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C\)

14 tháng 10 2015

ta có

\(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{1-x^2}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2-x^2}\right)}dx=\int\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}{3x^2}dx=\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x^2}+\int\frac{\sqrt{2-x^2}dx}{3x^2}\)=\(\frac{1}{3}\left(I_1+I_2\right)\)

Tính \(I_1=\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx\)

\(tant=x\Rightarrow dx=\frac{1}{cos^2x}dx\)

ta có

\(\int\frac{\sqrt{1+tan^2t}}{cos^2t.tan^2t}dt=\int\frac{\frac{1}{cosx}}{sin^2t}dx=\int\frac{d\left(sint\right)}{sin^2t\left(1-sin^2t\right)}=\int\frac{dy}{y^2\left(1-y^2\right)}\)

làm tương tự câu trên ta tính đc \(I_1,I_2\) TA TÍNH ĐC I

14 tháng 10 2015

đặt \(\sqrt{x^3+1}=t\Rightarrow t^2=x^3+1\Rightarrow2tdt=3x^2dx\Rightarrow x^2dx=\frac{2}{3}tdt\)

thay vào ta có

\(\int\frac{2}{3}t^2dt=\frac{2}{9}t^3+C=\frac{2}{9}\sqrt{\left(x^3+1\right)^3}+C\)

12 tháng 10 2015

ĐẶT \(\sqrt[3]{1-x^3}=t\Rightarrow t^3=1-x^3\Rightarrow x^3=1-t^3\Rightarrow x^2dx=-t^2dt\)

ta có

\(-\int t^3dt=-\frac{t^4}{4}+C=\frac{-\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)^4}}{4}+C\)

23 tháng 1 2016

Dễ

14 tháng 10 2015

\(\int\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}}{x+2-\left(2-x\right)}dx=\int\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}}{2x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x+2}}{x}dx-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{2-x}}{x}dx=\frac{1}{2}\left(I_1+I_2\right)\)

TÍNH \(I_1=\int\frac{\sqrt{x+2}}{x}dx\)

đặt \(\sqrt{x+2}=t\Rightarrow t^2=x+2\Rightarrow x=t^2-2\Rightarrow dx=2tdt\)

thay vào \(I_1=\int\frac{\sqrt{x+2}}{x}dx=\int\frac{2t^2}{t^2-2}dt=\int2dt+\int\frac{4}{t^2-2}dt=2t+\int\frac{dt}{\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t+\sqrt{2}\right)}=2t+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|+C\)

THAY \(\sqrt{x+2}=t\)

tính \(I_2\)tương tự \(I_1\) TA SUY ra đc I

23 tháng 10 2023

\(\int\limits^1_{\sqrt{ }3}\)\(\sqrt{\left(1+x^2\right)}\)\(dx\)

18 tháng 1 2016

a)

\(\frac{1}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}dx\)

Đặt

\(\left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}tant\) => dx=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+tan^2t\right)dt\) =>\(\frac{1}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{\frac{3}{4}\left(1+tan^2t\right)+\frac{3}{4}}\left(1+tan^2t\right)dt=\frac{3}{4}dt=\frac{3}{4}t+C\) 

Với \(\left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}tant=>t=\left(\frac{2\sqrt{3}}{4x-1}\right)\)

18 tháng 1 2016

Câu b nhá :

\(\frac{1}{x^2+2x+2}dx=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2^2}\right)}dx\)

Đặt

 \(x+1=\sqrt{2}tant=>dx=\sqrt{2}\left(1+tan^2t\right)dt\)

=> \(\frac{1}{x^2+2x+3}dx=\frac{1}{2\left(tan^2t+1\right)}.\left(1+tan^2t\right)dt=\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}t+C\)

Với

\(x+1=\sqrt{2}tant=>tant=\frac{x+1}{\sqrt{2}}<=>t=arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\)

14 tháng 10 2015

Đăt \(x=tant\Rightarrow dx=\frac{1}{cos^2t}dt\)

thau vào tích phân ta có

\(\int\frac{1}{cos^2t\left(tan^2t+1\right)}dt=\int\frac{1}{cos^2t\frac{1}{cos^2t}}dt=\int dt=t+C=arctanx+C\)