Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hàm số xác định khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2mx+2018m+2019>0\\mx^2+2mx+2020\ge0\end{matrix}\right.\)
Xét \(f\left(x\right)=x^2+2mx+2018m+2019\)
Có: \(\Delta'=m^2-2018m-2019\)
Để \(f\left(x\right)>0\) thì \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m^2-2018m-2019< 0\Leftrightarrow-1< m< 2019\)(*)
Xét \(g\left(x\right)=mx^2+2mx+2020\)
Dễ thấy \(m=0\) thì \(g\left(x\right)=\sqrt{2020}>0\)(1)
Để \(g\left(x\right)\ge0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-2020m\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow0< m\le2020\) (2)
(1),(2)\(\Rightarrow g\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow0\le m\le2020\) (**)
(*),(**) suy ra hàm số xác định khi \(0\le m< 2019\)
Do đó tập hợp các giá trị nguyên của m để hàm số xác định là:
\(S=\left\{m\in Z|0\le m< 2019\right\}\) và tập hợp có 2019 phần tử
Ta có:
\(x+\frac{1}{x}=\left(x+\frac{2019^2}{x}\right)-\frac{2019^2-1}{x}\ge_{Cauchy}2\sqrt{x.\frac{2019^2}{x}}-\frac{2019^2-1}{2019}=2.2019-2019+\frac{1}{2019}=2019+\frac{1}{2019}\).
Tương tự, \(y+\frac{1}{y}\ge2020+\frac{1}{2020};z+\frac{1}{z}\ge2021+\frac{1}{2021}\).
Do đó: \(M\ge2019+2020+2021=3.2020=6060\).
Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2019\\y=2020\\z=2021\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(x^2+1+\left(2-m\right)x-2\sqrt{x\left(x^2+1\right)}=0\)
Với \(x=0\) ko phải nghiệm, với \(x>0\) chia 2 vế cho x:
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x}+2-m-2\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=0\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=t\ge\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow t^2-2t+2=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-2t+m\) khi \(t\ge\sqrt{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=1< \sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(\sqrt{2}\right)=4-2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(m\ge4-2\sqrt{2}\)
Ta chứng minh bổ đề:
Với x,y,z dương thì:
\(8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-z\right)^2+y\left(z-x\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
Quay lại bài toán ta có:
\(A^{2020}=\left(\sqrt[2020]{\frac{a}{a+b}}+\sqrt[2020]{\frac{b}{b+c}}+\sqrt[2020]{\frac{c}{c+a}}\right)^{2020}\)
\(=\left(\sqrt[2020]{\frac{a\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt[2020]{\frac{b\left(b+a\right)}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\sqrt[2020]{\frac{c\left(c+b\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\right)^{2020}\)
\(\le\left(1+1+1\right)^{2018}.2.\left(a+b+c\right).\left(\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\right)\)
\(=3^{2018}.\frac{4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\le3^{2018}.\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{3^{2020}}{2}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3}{\sqrt[2020]{2}}\)
Solution:
Dạng tổng quát :
\(\sqrt{1+k^2+\frac{k^2}{\left(k-1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(1+k^2\right)\left(k+1\right)^2+k^2}{\left(k-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{k^4-2k^3+3k^2-2k+1}{\left(k-1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(k^2-k\right)^2+2\left(k^2-k\right)+1}{\left(k-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(k^2-k+1\right)^2}{\left(k-1\right)^2}}=\frac{k^2-k+1}{k-1}\)
\(=\frac{k\left(k-1\right)+1}{k-1}=k+\frac{1}{k-1}\)
Áp dụng ta có :
\(S=\sqrt{1+2020^2+\frac{2020^2}{2019^2}}-\frac{2020}{2019}\)
\(S=2020+\frac{1}{2019}-\frac{2020}{2019}\)
\(S=2020+\frac{-2019}{2019}\)
\(S=2020-1\)
\(S=2019\)
Vậy...
trời, tự nhận mik ngu Phạm Thị Thùy Linh