Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)
Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên
\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)
\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)
a) Phương trình có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\) nên :
\(\left(2-\sqrt{3}\right)^3+a.\left(2-\sqrt{3}\right)^2+\left(2-\sqrt{3}\right)b-1=0\)
\(\Leftrightarrow20-11\sqrt{3}+a.\left(7-4\sqrt{3}\right)+2b-b\sqrt{3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow7a+2b+19=\sqrt{3}.\left(11+4a+b\right)\) (*)
Với a,b là các số hữu tỉ thì từ (*) suy ra :
\(\hept{\begin{cases}7a+2b+19=0\\11+4a+b=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-1\end{cases}}\) ( Thỏa mãn )
b) Hóng cách làm vì mình không biết làm :((
\(\Delta=\left(n-2\right)^2+12>0\) ; \(\forall n\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi n
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=n-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x_1^2+2018}-x_2=\sqrt{x_2^2+2018}+x_1\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1^2+x_2^2+2018+2x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)
\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)
\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2018\right)=x_1^2\left(x_2^2+2018\right)\)
\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\) (do \(x_1;x_2\) trái dấu)
\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow n-2=0\Rightarrow n=2\)
Thử lại với \(n=2\) thấy đúng. Vậy...
Lời giải:
Ta có: \(x^3-m(x+2)+8=0\)
\(\Leftrightarrow (x^3+8)-m(x+2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x+4)-m(x+2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x+4-m)=0\)
Dễ thấy PT có nghiệm \(x=-2\)
Do đó để có 3 nghiệm pb thì \(x^2-2x+4-m=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác $-2$
Điều này xảy ra khi mà:
\(\left\{\begin{matrix} (-2)^2-2(-2)+4-m\neq 0\\ \Delta'=1-(4-m)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12-m\neq 0\\ m-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 3; m\neq 12\)
b)
Nghiệm thứ nhất của PT là \(x_1=-2\)
Hai nghiệm còn lại $x_2,x_3$ được xác định theo hệ thức Viete như sau:
\(\left\{\begin{matrix} x_2+x_3=2\\ x_2x_3=4-m\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-8+(x_2+x_3)^3-3x_2x_3(x_2+x_3)\)
\(=-8+8-3(4-m).2=6(m-4)\)
Và: \(3x_1x_2x_3=3(-2)(4-m)=6(m-4)\)
Do đó \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3\) (đpcm)