K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
JD
1
4 tháng 7 2016
Bài nè không bít có được vào CÂU HỎI HAY của OLM không?
1./ Dễ thấy: \(A=3^n+19\)là 1 số chẵn. Nên để A là số chính phương thì A phải chia hết cho 4.
19 chia 4 dư 3 => \(3^n\)chia 4 dư 1 (1)
- Nếu n lẻ = 2i + 1 thì: \(3^{2i+1}=3\cdot\left(3^2\right)^i=3\cdot\left(8+1\right)^i\)chia 4 dư 3 trái với khẳng định (1)
- Vậy n chẵn và có dạng n = 2k.
2./ Bài toán trở thành tìm k để: \(A=3^{2k}+19\)là số chính phương.
Viết lại A ở dạng: \(A=\left(3^k\right)^2+19\)
- k = 0 => A = 20 không phải là số chính phương
- k = 1 => A = 28 không phải là số chính phương
- k = 2 => A = 100 là số chính phương 102
- k >= 3 thì:
\(\left(3^k\right)^2< \left(3^k\right)^2+19=A< \left(3^k\right)^2+2\cdot3^k+1=\left(3^k+1\right)^2\)
A kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp 3k và 3k + 1 nên A không phải là số chính phương.
3./ Kết luận, với duy nhất n = 2k = 4 thì 3n + 19 là số chính phương.
NC
1
31 tháng 1 2021
Xét n=0n=0 không thỏa mãn.
Xét n≥1n≥1
Với n∈Nn∈N thì:A=n4+2n3+2n2+n+7=(n2+n)2+n2+n+7>(n2+n)2A=n4+2n3+2n2+n+7=(n2+n)2+n2+n+7>(n2+n)2
Mặt khác, xét :
A−(n2+n+2)2=−3n2−3n+3<0A−(n2+n+2)2=−3n2−3n+3<0 với mọi n≥1n≥1
⇔A<(n2+n+2)2⇔A<(n2+n+2)2
Như vậy (n2+n)2<A<(n2+n+2)2(n2+n)2<A<(n2+n+2)2, suy ra để $A$ là số chính phương thì
A=(n2+n+1)2⇔n4+2n3+2n2+n+7=(n2+n+1)2A=(n2+n+1)2⇔n4+2n3+2n2+n+7=(n2+n+1)2
⇔−n2−n+6=0⇔(n−2)(n+3)=0⇔−n2−n+6=0⇔(n−2)(n+3)=0
Suy ra n=2
DH
0
NT
1
24 tháng 6 2020
Vì \(7^n+147\) là số chính phương
=> Đặt: \(7^n+147\) với a là số nguyên khi đó ta có:
\(7^n+147=a^2\)không mất tính tổng quát g/s a nguyên dương
mà: n là số tự nhiên nên \(7^n⋮7\); \(147=7^2.3⋮7\)=> \(a^2⋮7\)=> \(a⋮7\)=> \(a^2⋮7^2\)
=> \(7^n⋮7^2\)=> n \(\ge\)2
+) Với n = 2k khi đó: \(k\ge1\)
Ta có: \(7^{2k}+147=a^2\)
<=> \(\left(a-7^k\right)\left(a+7^k\right)=147\)
Vì: \(\hept{\begin{cases}0< a-7^k< a+7^k\\a-7^k;a+7^k⋮7\end{cases}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}a+7^k=21\\a-7^k=7\end{cases}}\Leftrightarrow7^k=7\Leftrightarrow k=1\)=> n = 2
Thử lại thỏa mãn
+) Với n = 2k + 1 ta có:
\(7^{2k+1}:4\) dư -1
\(147\): 4 dư 3
=> \(7^{2k+1}+147\) chia 4 dư 2
mà số chính phương chia 4 bằng 0 hoặc 1
=> Loại
Vậy: n = 2