S
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HF
12 tháng 8 2020
Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)
- Chứng minh A chia hết cho 2:
+) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2
+) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2
- Chứng minh A chia hết cho 3:
+) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
+) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:
+) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5
+) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5
Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)
\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7
12 tháng 8 2020
* Ta c/m: \(x^5-x⋮30\forall x\in Z\)
+ \(x^5-x=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
Vì \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮5\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\) ( do 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau ) (1)
+ \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2\\\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮6\) ( do \(\left(2,3\right)=1\) )
\(\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Trở lại bài toán ta có:
\(P-M=a^{2019}\left(a^5-a\right)+b^{2019}\left(b^5-b\right)+c^{2019}\left(c^5-c\right)⋮30\)
( do \(a^5-a⋮30,b^5-b⋮30,c^5-c⋮30\) )
=> P và M có cùng số dư khi chia 30
=> P chia 30 dư 7
HC
0
18 tháng 10 2020
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta được:
\(\left(x+y\right)\left(\frac{2020}{x}+\frac{1}{2020y}\right)\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{2020}{x}}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{\frac{1}{2020y}}\right)\)
\(=\left(\sqrt{2020}+\sqrt{\frac{1}{2020}}\right)^2=2020+\frac{1}{2020}+2=2022\frac{1}{2020}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2021}{2020}\cdot S\ge2022\frac{1}{2020}\)
\(\Rightarrow S\ge2022\frac{1}{2020}\div\frac{2021}{2020}=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{2020}{x}}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{\frac{1}{2020y}}}\\x+y=\frac{2021}{2020}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2020y\\x+y=\frac{2021}{2020}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2020}\end{cases}}\)
Vậy Min(S) = 2021 khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2020}\end{cases}}\)
19 tháng 4 2020
A B C D E I K J H M O
gọi các điểm như trên hình
I là giao 2 đường tiếp tuyến HI và AC=>OI là phân giác góc EOK (1) và IE=IK
C là giao 2 tiếp tuyến AC và BC => OC là phân giác góc KOD (2) và KC=DC
(1) và (2) => tam giác IOC vuông tại O, có đường cao OK =>OK2=IK.KC <=> OK2=IE.DC
CM tương tự ta được OJ2 = EH.BD
mà \(\text{OK=OJ=r}\)
=>\(\text{IE.DC=EH.BD}\)
=>\(\frac{EH}{EI}=\frac{CD}{BD}\)
Ta có : \(\text{HI // BC}\)
=>\(\frac{EI}{MC}=\frac{AI}{AC}=\frac{AH}{AB}=\frac{EH}{BM}\)
=> \(\frac{BM}{MC}=\frac{EH}{EI}\)
=>\(\frac{BM}{CM}=\frac{EH}{EI}=\frac{CD}{BD}\)
=> \(1+\frac{BM}{CM}=1+\frac{CD}{BD}\)\(\Leftrightarrow\frac{BC}{CM}=\frac{BC}{BD}\Rightarrow CM=BD\)
TT
1
TL
0
Lời giải:
Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì:
$2020^6\equiv 1\pmod 7$
$\Rightarrow (2020^6)^{336}.2020^4\equiv 1^{336}.2020^4\equiv 2020^4\pmod 7$
Có:
$2020\equiv 4\pmod 7$
$\Rightarrow 2020^4\equiv 4^4\equiv 256\equiv 4\pmod 7$
$\Rightarrow A\equiv 2020^4\equiv 4\pmod 7$
Vậy $A$ chia $7$ dư $4$