Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
@Ta chứng minh \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}\)\(<3\) bằng quy nạp.
+Với n = 1, 2, 3 thì điều trên đúng.
+Giả sử điều trên đúng với n = k ( k≥1 ), tức là \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\)\(<3\) với k dấu căn.
+Ta chứng minh điều đó đúng với n = k+1 tức là \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\)\(<3\) với k+1 dấu căn
Thật vậy, ta có: \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\text{(k dấu căn) }<3\)
\(\Rightarrow8,5<6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}\text{ (k dấu căn) }<9\)
\(\Rightarrow\sqrt{8,5}<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}\text{ (k+1 dấu căn)}<3\)
\(\Rightarrow2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+..}}\left(k+1\text{ dấu căn}\right)<3\)
Vậy \(2,5<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}<3\)
@Chứng minh tương tự ta cũng có: \(1,5<\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{...}}}<2\)
Vậy \(2,5+1,5<\)\(\sqrt{...}+\sqrt[3]{...}<3+2\)
\(\Rightarrow4<\)\(\sqrt{...}+\sqrt[3]{....}<\)\(5\)
Vậy phần nguyên là 4.
\(\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}>\sqrt{6}=\sqrt{\frac{150}{25}}>\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}\)
\(\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}>\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{\frac{750}{125}}>\sqrt[3]{\frac{729}{125}}=\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow A>\frac{12}{5}+\frac{9}{5}=\frac{21}{5}>4\)
\(\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{9}}}=3\)
\(\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}< \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{8}}}=2\)
\(\Rightarrow A< 3+2=5\)
\(\Rightarrow4< A< 5\Rightarrow\left[A\right]=4\)
1: \(=\sqrt{6}+\sqrt{6}+1=2\sqrt{6}+1\)
2: \(=\dfrac{6\left(1-\sqrt{3}\right)}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{3\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}+1}=6+3=9\)
3: \(=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\)
B=\(\sqrt{9+2.3\sqrt{6}+6}+\sqrt{9+2.3.2\sqrt{6}+24}=\sqrt{\left(3+\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{6}\right)^2}\)=\(=3+\sqrt{6}+2+2\sqrt{6}=5+3\sqrt{6}\)