Question

[oooloo]

Tìm m để pt |x² - 2|x| + m|=1 có 2 nghiệm phân biệt

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:$|x^2-2|x|+m|=1$

$\Rightarrow x^2-2|x|=\pm 1$

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1-x^2+2|x|=2-(|x|-1)^2(*)\\ m=-1-x^2+2|x|=-(|x|-1)^2(**)\end{matrix}\right.\)

TH1: $m\leq 0$ thì:

Từ (*) suy ra $|x|=1+\sqrt{2-m}\Rightarrow x=\pm (1+\sqrt{2-m})$ (2 nghiệm phân biệt)

Từ (**) suy ra $|x|=1\pm \sqrt{-m}$. PT này cũng có ít nhất 2 nghiệm phân biệt $x=\pm (1+\sqrt{-m})$ 

Kéo theo PT ban đầu có ít nhất 4 nghiệm phân biệt (loại)

TH2: $m>2$ thì hiển nhiên PT (*); (**) đều vô nghiệm (loại)

TH3: $2\geq m>0$ thì:

(**) hiển nhiên vô nghiệm

(*) $\Rightarrow |x|=1\pm \sqrt{2-m}$.

Với $|x|=1+\sqrt{2-m}$ thì $x=\pm (1+\sqrt{2-m})$ (2 nghiệm phân biệt)

Do đó để pt chỉ có 2 nghiệm pb thì trường hợp $|x|=1-\sqrt{2-m}$ vô nghiệm hoặc $1-\sqrt{2-m}=1+\sqrt{2-m}$ Điều này xảy ra khi 1-\sqrt{2-m}<0$ hoặc $m=2$

$\Rightarrow  0< m<1$ hoặc $m=2$

Answer 2

[oooloo]

Ở TH3 còn trường hợp  \(1+\sqrt{2-m}=1-\sqrt{2-m}\Leftrightarrow m=2\)

thì pt cũng cho 2 nghiệm phân biệt