Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Để hàm số trên liên tục tại $x_0=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}(a+\frac{4-x}{x+2})=\lim\limits_{x\to 0-}(\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x})=a+2\)
\(\Leftrightarrow a+2=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}\)
Mà \(\lim\limits_{x\to 0-}\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}=-\infty \) nên không tồn tại $a$ để hàm số liên tục tại $x_0=0$
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)
Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)
\(f\left(0\right)=2.0+m+1=m+1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\Leftrightarrow m+1=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:
\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)
Lời giải:
Ta có \(\lim\limits_ {x\to -1^+}f(x)=\lim\limits_ {x\to -1^+}\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\lim\limits_ {x\to -1^+}\frac{x^2-x-2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}\)
\(=\lim\limits_ {x\to -1^+}\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2}\)
\(\lim\limits_ {x\to -1^-} f(x)=\lim\limits_ {x\to -1^-}(2x+3)=1\)
\(\Rightarrow \lim\limits_ {x\to -1^-}f(x)\neq \lim\limits_ {x\to -1^+}f(x)\)
Do đó hàm số gián đoạn tại $x=-1$
Với $x\in (-\infty; -1)$ và $(-1;+\infty)$ thì $f(x)$ là phân thức luôn xác định nên $f(x)$ liên tục trên $(-\infty; -1)$ và $(-1;+\infty)$
Hàm có đạo hàm tại \(x=0\) khi nó liên tục tại \(x=0\) và có đạo hàm trái bằng đạo hàm phải tại 0
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(-x^3+bx+c\right)=c\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}x^2=0\)
\(\Rightarrow c=0\)
\(f'\left(0^-\right)=2x_{x\rightarrow0^-}=0\)
\(f'\left(0^+\right)=\left(-3x^2+b\right)_{x\rightarrow0^+}=b\)
\(\Rightarrow b=0\Rightarrow b=c=0\)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2a\right)=2a\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)
Hàm liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
3. Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-2\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left(1;2\right)\)
\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=12\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)=-24< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
Hay pt đã cho luôn có nghiệm thuộc (1;2)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{4-3x}-e^4}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^4\left(e^{-3x}-1\right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}-3e^4\left(\dfrac{e^{-3x}-1}{-3x}\right)=-3e^4\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi \(3ae^4=-3e^4\Rightarrow a=-1\)
Lời giải:
Để hàm liên tục tại $x=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0-}(2x^2+3mx+1)=1\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}=0\) (vô lý)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.