Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Để hàm số trên liên tục tại $x_0=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}(a+\frac{4-x}{x+2})=\lim\limits_{x\to 0-}(\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x})=a+2\)
\(\Leftrightarrow a+2=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}\)
Mà \(\lim\limits_{x\to 0-}\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}=-\infty \) nên không tồn tại $a$ để hàm số liên tục tại $x_0=0$
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)
Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)
\(f\left(0\right)=2.0+m+1=m+1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\Leftrightarrow m+1=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:
\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(m+\frac{1-x}{1+x}\right)=m+1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right)\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2x}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=-1\)
Để hàm số liên tục tại x=0
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow m+1=-1\Rightarrow m=-2\)
Bài 2:
Đặt \(f\left(x\right)=4x^4+2x^2-x-3\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R
\(f\left(-1\right)=4>0\) ; \(f\left(0\right)=-3< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(-1;0\right)\)
\(f\left(1\right)=2>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;1\right)\)
Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-1;1\right)\)
Lời giải:
Để hàm liên tục tại $x=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0-}(2x^2+3mx+1)=1\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}=0\) (vô lý)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.