Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\). Gọi T là tập giá trị của K. Khi đó \(m\in T\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
\(\begin{cases}x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\\x+y=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)=m\\x+y=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(u=\sqrt{x+1};v=\sqrt{y+2}\), điều kiện \(u\ge0;v\ge0\)
Thay vào (1), ta được :
\(\begin{cases}3\left(u+v\right)=m\\u^2+v^2=m+3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=\frac{m}{3}\\uv=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)\end{cases}\)
Hay u và v là nghiệm của phương trình :
\(t^2-\frac{m}{3}t+\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow18t^2-6mt+m^2-9m-27=0\) (2)
Hệ (1) có nghiệm x, y thỏa mãn điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm, hay :
\(\begin{cases}\Delta'=-9\left(m^2-18m-54\right)\ge0\\S=\frac{m}{3}\ge0\\P=\frac{m^2-9m-27}{18}\ge0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le m\le9+3\sqrt{15}\)
Vậy \(T=\left[\frac{9+3\sqrt{21}}{2};9+3\sqrt{15}\right]\)
Suy ra Max K = \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\)
Min K = \(9+3\sqrt{15}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2
≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2
=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2
≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13
gọi T là tập hợp giá trị của F
\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\\\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}=m\end{cases}\)
Đặt S = \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y},P=\sqrt[3]{xy}\) điều kiện \(S^2\ge4P\)hệ 1 trở thành
\(\begin{cases}S^2-S-3P=0\\S+P=m\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2+2S-3m=0\\P=m-s\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m=\frac{S^2+2S}{3}\\P=\frac{S^2-S}{3}\end{cases}\)
Ta có \(S^2\ge4P\Leftrightarrow S^2\ge\frac{4S^2-4S}{3}\Leftrightarrow s^2-4S\le0\Leftrightarrow0\le S\le4\)
từ đó , hệ 1 có nghiệm \(\Leftrightarrow\)hệ 2 có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4P\Leftrightarrow\)phương trình \(S^2+2S-3m=0\)có nghiệm S thỏa mãn điều kiện 0\(0\le S\le4\)tức là
\(\Delta'=1+3m\ge0\)và \(\left[\begin{array}{nghiempt}0\le-1-\sqrt{1+3m}\le4\\0\le-1+\sqrt{1+3m}\le4\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m\ge-\frac{1}{3}\\1\le\sqrt{1+3m}\le5\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le m\le8\)
vậy max F=8, min=0
\(P=\sqrt{x^4+x^2y^2}+x^2=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^2}}+x^2\)
Ta có: \(x^4+\frac{1}{x^2}=x^4+\frac{1}{8x^2}+\frac{1}{8x^2}+...+\frac{1}{8x^2}\ge9\sqrt[9]{x^4.\left(\frac{1}{8x^2}\right)^8}\)
\(=9\sqrt[9]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}\)
=> \(P=3\sqrt[18]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}+x^2\)
\(=\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+x^2\)
\(\ge4\sqrt[4]{\left(\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\right)^3.x^2}\)
\(=4.\left(\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{2}}}\right).x^2=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^4=\frac{1}{8x^2}\\x^2=\sqrt[8]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\end{cases}}\)<=> x^2 = 1/2 khi đó y = 2 , x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy GTNN của P = 2.
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=xy\left(1-x\right)\left(1-y\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)\left(x+y\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1\right)\)
Ta có : \(\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)\left(x+y\right)\ge4xy\)
và \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)=1-\left(x+y\right)+xy\le1-2\sqrt{xy}+xy\)
\(\Rightarrow1-2\sqrt{xy}+xy\ge4xy\Leftrightarrow0\) <\(xy\le\frac{1}{9}\)
Dễ chứng minh : \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\le\frac{1}{1+xy};\left(x,y\in\left(0;1\right)\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\right)}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{1+xy}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+xy}}\)
\(3xy-\left(x^2+y^2\right)=xy-\left(x-y\right)^2\le xy\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\sqrt{1+xy}}+xy=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\), \(\left(t=xy\right)\), (0<\(t\le\frac{1}{9}\)
Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=\frac{2}{\sqrt{t+1}}+t\) , (0<\(t\le\frac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT BSC và BĐT \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\):
\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\right)^2\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left[\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2\right]=\sqrt{2}+2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{\sqrt{2}+2}\le A\le\sqrt{\sqrt{2}+2}\)
\(\Rightarrow minA=\sqrt{\sqrt{2}+2}\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)