KV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DO
2
24 tháng 6 2018
Nếu x>3 ta có: 3<x<y<z<t<u, từ phương trình đã cho suy ra:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{u}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{743}{840}< 1\)
Vậy x = 3
Từ đó suy ra: \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\) . Nếu y>4, lập luận tương tự, ta có:
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{u}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{533}{840}< \frac{2}{3}\)
Suy ra: y = 4
Tiếp tục lập luận tương tự như trên ta có các số tự nhiên cần tìm là: x = 3; y = 4 ; z = 5; t = 6; u = 20
P/S: Không chắc lắm ạ!
24 tháng 6 2018
câu này nằm trong đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an năm ngoái
MT
0
KN
1 tháng 6 2020
Theo giả thiết cho: \(xyzt=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1-t\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1-x}{x}.\frac{1-y}{y}.\frac{1-z}{z}.\frac{1-t}{t}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1-x}{x},\frac{1-y}{y},\frac{1-z}{z},\frac{1-t}{t}\right)\rightarrow\left(a,b,c,d\right)\). Lúc đó thì giả thiết được viết lại thành abcd = 1
Ta có: \(a=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\Rightarrow x^2=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(y^2=\frac{1}{\left(b+1\right)^2};z^2=\frac{1}{\left(c+1\right)^2};t^2=\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\)và khi đó ta cần chứng minh:\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge1\)
Ta có BĐT phụ sau: \(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(*)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz cho hai dãy số (pq;1) và \(\left(\frac{p}{q};1\right)\), ta có: \(\left(pq+1\right)\left(\frac{p}{q}+1\right)\ge\left(p+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(p+1\right)^2}\ge\frac{\frac{q}{p+q}}{pq+1}\)(1)
Tương tự ta có: \(\Rightarrow\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{\frac{p}{p+q}}{pq+1}\)(2)
Cộng theo vế của 2 BĐT (1) và (2), ta được:
\(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(đúng với (*))
Áp dụng vào bài toán, ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{cd+1}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{cd}+1}+\frac{1}{cd+1}=\frac{cd}{cd+1}+\frac{1}{cd+1}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)hay x = y = z = t = \(\frac{1}{2}\)
T
18 tháng 4 2019
Bài này dùng Cô si ngược dấu:
Áp dụng BĐT Cô si:\(\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\ge1-\frac{x^2}{2x}=1-\frac{x}{2}\)
Tương tự với ba BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:\(VT\ge4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)
Dấu "=' xảy ra tại a = b = c = 1
Vậy min A = 2 khi và chỉ khi a = b = c = 1
18 tháng 4 2019
tth ngược dấu nhé
\(A=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{t^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4=\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge1-\frac{x}{2}+1-\frac{y}{2}+1-\frac{z}{2}+1-\frac{t}{2}=4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(A\le2\)
27 tháng 3 2020
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
13 tháng 4 2023
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực dương \(xy,yz,zx\), ta có \(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\). Do \(xy+yz+zx=3xyz\) nên\(3xyz\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\left(\sqrt[3]{xyz}-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\ge1\) \(\Leftrightarrow xyz\ge1\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=yz=zx\\xy+yz+zx=3xyz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=\dfrac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2y}\)\(=x-\dfrac{xy}{2}\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{y}{1+z^2}\ge y-\dfrac{yz}{2}\) và \(\dfrac{z}{1+x^2}\ge z-\dfrac{zx}{2}\). Từ đó suy ra \(\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\dfrac{xy+yz+zx}{2}\) \(=x+y+z-\dfrac{3}{2}xyz\) . Từ đây suy ra \(Q\ge x+y+z\ge\sqrt[3]{xyz}\ge1\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
Vậy GTNN của \(Q\) là \(1\) đạt được khi \(x=y=z=1\)
14 tháng 4 2023
Dạ thưa thầy, chỗ kia con sửa là \(Q\ge x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\) ạ. GTNN của Q là 3 khi \(x=y=z=1\)
HT
1
2 tháng 8 2020
ta thấy VT chia hết cho 6 => VP chia hết cho 6 => \(5^z\equiv-1\left(mod6\right)\)
=> (-1)z \(\equiv\)-1 (mod 6) => z lẻ
xét x=y=z=1 (thỏa mãn)
xét z>1 => z,y>1, ta có pt <=> 2x.3y=(5+1)(5z-1-5z-2+....-1)
<=> 2x-1.3y-1\(\equiv\)-1 (mod 2) vô lý vì VT chẵn)
vậy pt có nghiệm nguyên dương là x=y=z=1