Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét p=2\(\Rightarrow p^4+29=45=3^2.5\), có 6 ước số là SND, loại
Xét p=3\(\Rightarrow p^4+29=110=2.5.11\), có 8 ước số là SND, tm
Xét p=5\(\Rightarrow p^4+29=654=2.3.109\) , có 8 ước số là SND, tm
Xét p\(\ge6\). Do p là SNT nên p có dạng \(6k+1\) hoặc \(6k-1\) (k\(\in N\)*)
TH1: p=6k+1
Khi đó ta có \(p^4+29=\left(6k+1\right)^4+29\equiv1+29\equiv0\left(mod6\right)\)
Ta cũng có: \(p^4+29=\left(6k+1\right)^4+29\equiv0\left(mod5\right)\)
vì \(\left(6k+1\right)⋮5̸\)
\(\Rightarrow p^4+29=6.5.a=2.3.5.a\)(a là STN)\(\Rightarrow p^4+29\) có nhiều hơn 8 ước số nguyên dương, loại.
TH2: p=6k-1. Chứng minh tương tự ta thấy không có p thoả mãn
\(\Rightarrow p\ge6\) không thoả mãn
Vậy....
Đặt \(a=p^q+7q^p\)
Nếu p; q đều bằng 2 \(\Rightarrow a=2^2+7.2^2\) là hợp số (ktm)
Nếu p; q cùng lớn hơn 2 \(\Rightarrow p^q\) và \(q^p\) đều lẻ
\(\Rightarrow a=p^q+7q^p\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số (ktm)
\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q phải bằng 2, số còn lại là SNT lẻ
TH1: \(p=2\Rightarrow a=2^q+7.q^2\)
- Nếu \(q=3\Rightarrow a=2^3+7.3^2=71\) là SNT (thỏa mãn)
- Nếu \(q>3\Rightarrow q^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow7q^2\equiv1\left(mod3\right)\)
\(2^q=2^{2k+1}=2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow a=2^q+7.q^2\equiv2+1\left(mod3\right)\Rightarrow a⋮3\) là hợp số (ktm)
TH2: \(q=2\Rightarrow a=p^2+7.2^p\)
- Nếu \(p=3\Rightarrow a=3^2+7.2^3=65\) ko phải SNT (ktm)
- Nếu \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)
\(7.2^p=7.2^{2k+1}=14.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow p^2+7.2^p⋮3\) là hợp số (ktm)
Vậy \(\left(p;q\right)=\left(2;3\right)\) là cặp SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu
Đây là bài toán rất khó về đồng dư thức, em cám ơn thầy Lâm đã giải rất cẩn thận ạ!
\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n^3+2n^2+1\right)\) cũng là SCP
\(\Rightarrow4\left(n^4+5n^3+6n^2+n+3\right)\) là SCP
\(\Rightarrow4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=k^2\)
Ta có:
\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n-1\right)^2+3n^2+14n+11>\left(2n^2+5n-1\right)^2\)
\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2-\left(n-1\right)\left(5n+11\right)\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2n^2+5n-1\right)^2< k^2\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n\right)^2\\4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2-4n-12=0\\\left(n-1\right)\left(5n+11\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=6\end{matrix}\right.\)
Thay lại kiểm tra thấy đều thỏa mãn
Nếu p;q;r đều lẻ hoặc có đúng 1 số trong 3 số là lẻ \(\Rightarrow p^2+q^2+r^2\) lẻ, trong khi 5054 chẵn (ktm)
\(\Rightarrow\) Cả p;q;r đều chẵn (loại do \(2^2+2^2+2^2< 5054\)) hoặc có đúng 1 số trong 3 số là chẵn
Do vai trò 3 số như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử r chẵn \(\Rightarrow r=2\)
\(\Rightarrow p^2+q^2=5050\)
Nếu p; q đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow p=q=3\Rightarrow ktm\)
Nếu p;q đều ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2\) và \(q^2\) đều chia 3 dư 1
\(\Rightarrow p^2+q^2\) chia 3 dư 2 trong khi \(5050\) chia 3 dư 1 (ktm)
\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q chia hết cho 3, ko mất tính tổng quát, giả sử là p \(\Rightarrow p=3\)
\(\Rightarrow q^2=5050-9=5041\Rightarrow q=71\) là SNT (thỏa mãn)
Vậy bộ 3 số nguyên tố thỏa mãn là \(\left(2;3;71\right)\) và các hoán vị
Dạ em cám ơn thầy giáo đã nhiệt tình giúp đỡ ạ!