Question

[Đạt Vũ Hữu]

Từ 1 điểm P nằm ngoài (O) vẽ tiếp tuyến PM,PN và cát tuyến PAB không đi qua O. Từ A kẻ đt vuông góc vs OM cắt MN, MB tại C và D. CMR C là trung điểm của AD

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

P M N A B C D O H I

Qua điểm O kẻ 1 đường thẳng vuông góc với dây cung AB tại H => H là trung điểm AB

Ta có: PM và PN là 2 tiếp tuyến từ P kẻ đến (O) => Tứ giác MONP nội tiếp đường tròn.

=> ^ONM = ^OPM (1)

Xét tứ giác MHOP: ^OHP = ^OMP = 90⁰ => Tứ giác MHOP nội tiếp đường tròn

=> ^OPM + ^OHM = 180⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ONM + ^OHM = 180⁰ => Tứ giác MHON nội tiếp đường tròn.

=> ^HOM= ^HNM (Cùng chắn cung HM) hay ^HOI = ^HNC (3)

Xét tứ giác HOAI: ^OHA = ^OIA = 90⁰ => Tứ giác HOAI nội tiếp đường tròn

=> ^HOI = ^HAI (Cùng chắn cung IH) (4)

Từ (3) và (4) => ^HNC = ^HAI hay ^HNC = ^HAC => Tứ giác ACHN nội tiếp đường tròn.

=> ^AHC = ^ANC = ^ANM (5)

Do tứ giác BMAN nội tiếp (O) => ^ANM = ^ABM (6)

Từ (5) và (6) => ^AHC=^ABM hay ^AHC = ^ABD.

Ta thấy 2 góc trên nằm ở vị trí đồng vị => HC // BD 

Xét tam giác BAD: H là trung điểm AB; HC // BD (C thuộc AD) => C là trung điểm của AD (đpcm).