Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tam giác OAB vuông tại B => 3 điểm O,A,B nằm trên đường tròn đường kính OA (1 )
tam giác OCA vuông tại C => 3 điểm O,A, C nằm trên đường tròn đường kính OA(2)
I là trung điểm NM => OI vuông góc với MN => tam giác OIA vuông tại I => 3 điểm O, I, A nằm trên đường tròn đường kính OA (3 )
từ 1, 2, 3 => 5 điểm A,B,I,O,Ccùng nằm trên 1 đường tròn
b) góc ABM= góc BNM (cùng chắn cung BM); góc BAN chung => tam giác BAN đồng dạng với tam giác MAB
=> AB/AN=AM/AB => AB^2=AM.AN
1) Do B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy nên AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét tam giác vuông ABO có \(AO=R\sqrt{2};OB=R\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
\(AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=R\)
Vậy thì AC = AB = R.
2) Ta thấy tứ giác ABOC có AB = BO = OC = CA = R nên nó là hình thoi.
Lại có \(\widehat{ABO}=90^o\) nên ABOC là hình vuông.
3) Xét tam giác ADC và tam gác ACE có:
Góc A chung
\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung DC)
\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow AD.AE=AC^2=R^2\) = hằng số.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có AM.AN = AB2 = R2 = hằng số.
Vậy nên AM.AN = AD.AE = R2.
4) Xét đường tròn (O), ta có K là trung điểm dây cung MN nên theo liên hệ đường kính dây cung, ta có: \(OK\perp MN\) hay \(\widehat{AKO}=90^o\)
Vậy thì K thuộc đường tròn đường kính OA.
Do AMN là cát tuyến nên K thuộc cung tròn BmC (trên hình vẽ).
5) Ta có ABOC là hình vuông nên AO và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy thì BC qua tâm I.
Từ đó ta có \(\widehat{IJO}=90^o\)
Lại vừa chứng minh được \(\widehat{JKO}=90^o\).
Tứ giác IJKO có tổng hai góc đối bằng 180o nên IJKO là tứ giác nội tiếp hay O, K, I, J cùng thuộc một đường tròn.
Ta có AB = AC nên \(\widebat{AB}=\widebat{AC}\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{CBA}=\widehat{JBA}\)
Vậy thì \(\Delta ABJ\sim\Delta AKB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AK=AB^2\)
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp
hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(1)
Xét tứ giác OIAC có
\(\widehat{OIA}+\widehat{OCA}=180^0\)
Do đó: OIAC là tứ giác nội tiếp
hay O,I,A,C cùng thuộc một đường tròn(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,B,O,I,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(4)
Từ (3) và (4) suy ra OA⊥BC(5)
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
hay BC⊥CD(6)
Từ (5) và (6) suy ra CD//OA
* Tự vẽ hình .
a) + Gọi O' là trung điểm của OA .
+ Ta có : AB là tiếp tuyến của (O) tại A ( gt)
=> AB \(\perp OB\) ( Tính chất tiếp tuyến của đường tròn )
=> \(\Delta ABO\) vuông tại O
Mà : O' là trung điểm của cạnh huyền OA
Nên : \(\Delta ABO\) nội tiếp ( O' ; \(\dfrac{OA}{2}\))
=> A,B,O \(\in\left(O';\dfrac{OA}{2}\right)\) (1)
+ Ta có : AC là tiếp tuyến của (O) tại C ( gt)
=> \(AC\perp OC\) ( Tính chất tiếp tuyến của đường tròn )
=> \(\Delta ACO\) vuông tại C
Mà O' là trung điểm của cạnh huyền OA
Nên : \(\Delta ACO\) nội tiếp (O';\(\dfrac{OA}{2}\))
=> A,C,O \(\in\left(O';\dfrac{OA}{2}\right)\) (2)
+ Ta có : MN là dây của (O) ; I là trung điểm của MN ( gt )
=> OI\(\perp MN\) tại I ( Định lý mối liên hệ giữa đường kính và dây cung )
=> Hay OI\(\perp AI\)
=> \(\Delta AOI\) vuông tại I
Mà : O' là trung điểm cạnh huyền OA
Nên : \(\Delta AOI\) nội tiếp (O';\(\dfrac{OA}{2}\))
=> A,O,I \(\in\left(O';\dfrac{OA}{2}\right)\) (3)
* Từ (1),(2) và (3) Suy ra :
A,B,I,C,O cùng thuộc (O';\(\dfrac{OA}{2}\))